Gioco monete

[kobeilprofeta]

A parte con 1 moneta, B parte con 99 monete. Ogni volta lanciano una moneta: se esce testa vince A, se esce croce vince B. Chi perde deve dare una moneta all'altro. Il gioco finisce quando uno dei due è senza monete.
Qual è il valore atteso di lanci prima che il gioco finisca?

[orsoulx]

99. Se, invece, iniziano con 50 monete ciascuno è 2500.

Ciao
B.

[kobeilprofeta]

ok, ma...
procedimento?

[orsoulx]

... e poi mi dai anche il voto? Guarda che siamo in sala giochi: il/i procedimento/i lo scrivo se me lo chiedi e metti in discussione anche il tuo.

Comunque so che in generale data la somma $ s $ ed il valore assoluto $ d $ della differenza fra le monete in possesso dei due giocatori, il valore atteso per la durata del gioco è $ VA(s,d)= (s^2-d^2)/4 $. Un possibile metodo per dimostrarlo è risolvere un sistema lineare, grande ma molto semplice, ottenuto dalle relazioni ricorsive fra i valori attesi al variare di $ d $.

Ciao
B.

[orsoulx]

Non mi ero manco accorto che il risultato si semplifica nel prodotto del numero di monete dei due giocatori.
Ciao
B.

[kobeilprofeta]

Non prenderti male...
cercavo solo una soluzione "pulita", dato che io ho ragionato così:

il valore atteso:
1 vs 1 fa 1 (banale)
1 vs 2
ogni volta ho due possibilità (equiprobabili):
-finisce
-torno alla situazione precedente
Il valore atteso è dunque:
$1*1/2+2*1/4+3*1/8+4*1/16+5*1/32+...=\sum_{j=1}^{+\infty} frac{j}{2^j}=2$

Ragionando in maniera simile (un po' più complicata) arrivo a dire che per 1 vs 3 il valore atteso vale 3

Ora serve l'intervento di un ingegnere: se vale per 1,2 e 3... varrà per ogni $n$!
quindi 1 vs 99 fa 99 (il v.a.)


il caso $a$ vs $b$ (con $a!=b$) non è preso in considerazione da questo ragionamento...

[orsoulx]

"kobeilprofeta":Non prenderti male...

Non vedo perché dovrei prendermela . Ti ho solo segnalato, con un sorriso, che solitamente chi propone quesiti in questa sezione, ne conosce la soluzione e si accontenta di confrontarla con quelle degli altri. Quando si è interessati al procedimento basta dirlo.

Il gioco è un semplice processo mar[strike]c[/strike]koviano. Ad ogni lancio un giocatore perde una moneta che passa all'avversario. Nelle situazioni intermedie, cioè con $ 1 Il gioco termina quando $ d=s $. Fortunatamente si può ragionare direttamente sui valori attesi, per brevità indichiamoli con $ V(d) $. Abbiamo, con $ s>3 $, $ V(s)=0, V(d)=1+1/2V(d-2)+1/2V(d+2) $ per $ 1 In ogni caso si ottiene un sistema con matrice dei coefficienti tridiagonale e 'quasi' simmetrica (solo la prima equazione la sporca leggermente) di facile soluzione.

Credo sia molto più complicato procedere, come hai fatto, per valori di $ s $ non piccolissimi e, mi pare, non si possa giungere al valore di $ V(s-2) $ senza considerare anche tutti i restanti.
Ciao
B.

[kobeilprofeta]

Ciao, grazie.

Ps: la frase era ironica, non credevo la prendessi seriamente