Gioco di squadra [2]
Spennapolli, il gestore della sala bingo, forse preoccupato dalle iniziative degli abitanti di Volpetta per chiedere la chiusura della sua attività, ha deciso di mostrarsi generoso ed interessato all'istruzione dei suoi concittadini. Le scuole riceveranno un'elargizione, il cui importo verrà calcolato attraverso il risultato di gare. Quel che segue è uno stralcio del regolamento.
Ogni scuola partecipa con una squadra di $ m $ alunni, con $ 8(ogni scuola è libera di scegliere il valore di m che preferisce), di cui dovrà fornire una fotografia, ed ha diritto a partecipare a $ m $ spedizioni di ricerca.
Ad ogni spedizione di ricerca possono partecipare $ n $ cercatori, con $ 8
Al termine della $ m $ spedizioni, o quando non sia possibile continuare, per la carenza di giocatori non ancora abilitati, verrà stabilito l'importo vinto dalla scuola, che sarà pari a $ a/m 10 t $ euro, dove $ a $ è il numero degli abili e $ t $ il totale degli alunni della scuola.
Per non smentirsi Spennapolli propone anche la solita scommessa al raddoppio; qualora la si accetti, l'importo vinto verrà raddoppiato se gli $ m $ partecipanti risulteranno tutti abili, in caso contrario non si riceverà nulla.
Qual è la strategia ottimale e a quale valore atteso comporta?
Conviene accettare la scommessa?
Ogni scuola partecipa con una squadra di $ m $ alunni, con $ 8
Ad ogni spedizione di ricerca possono partecipare $ n $ cercatori, con $ 8
Al termine della $ m $ spedizioni, o quando non sia possibile continuare, per la carenza di giocatori non ancora abilitati, verrà stabilito l'importo vinto dalla scuola, che sarà pari a $ a/m 10 t $ euro, dove $ a $ è il numero degli abili e $ t $ il totale degli alunni della scuola.
Per non smentirsi Spennapolli propone anche la solita scommessa al raddoppio; qualora la si accetti, l'importo vinto verrà raddoppiato se gli $ m $ partecipanti risulteranno tutti abili, in caso contrario non si riceverà nulla.
Qual è la strategia ottimale e a quale valore atteso comporta?
Conviene accettare la scommessa?
Risposte
Vediamo se almeno ho capito il gioco ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@Alex
tutte le tue affermazioni sono compatibili con il regolamento del gioco. Quando posterai risposte, potrò dirti se sono ottime o migliorabili. Sappi che:
a) quando ho visto la soluzione del gioco (che ho elaborato per formulare questo) non volevo crederci e mi sarei giocato la tua anima che era una bufala.
b) i dirigenti scolastici di Volpetta hanno formato una commissione, composta da insegnanti e studenti particolarmente inclini ai giochi matematici, per tentare di far sborsare qualche euro a quel briccone di Spennapolli. Vedremo cosa ne cavano.
Ciao
B.
tutte le tue affermazioni sono compatibili con il regolamento del gioco. Quando posterai risposte, potrò dirti se sono ottime o migliorabili. Sappi che:
a) quando ho visto la soluzione del gioco (che ho elaborato per formulare questo) non volevo crederci e mi sarei giocato la tua anima che era una bufala.
b) i dirigenti scolastici di Volpetta hanno formato una commissione, composta da insegnanti e studenti particolarmente inclini ai giochi matematici, per tentare di far sborsare qualche euro a quel briccone di Spennapolli. Vedremo cosa ne cavano.
Ciao
B.
Mah ... non faccio progressi ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@Alex:
Questa mattina l'emittente RVT (Radio Valli Trappole), fra le notizie del capoluogo, ha detto che, ieri sera, i componenti della commissione sarebbero stati visti festeggiare con un aperitivo allo "Stuzzichino". Fra cocktail e tartine, sono stati numerosi gli hurrà indirizzati alla prof. Precisi (Scienze, secondaria di I grado) e a Di Gomma (leader della squadra di pallacanestro dell'ITIS).
Forse domani sul settimale "Eco della volpe", di cui è redattore Di Gomma senior, saranno pubblicati ragguagli in merito.
Gioco di squadra [1], che voleva essere un aiuto alla soluzione di questo quesito, è stato dimenticato?
Ciao
B.
Questa mattina l'emittente RVT (Radio Valli Trappole), fra le notizie del capoluogo, ha detto che, ieri sera, i componenti della commissione sarebbero stati visti festeggiare con un aperitivo allo "Stuzzichino". Fra cocktail e tartine, sono stati numerosi gli hurrà indirizzati alla prof. Precisi (Scienze, secondaria di I grado) e a Di Gomma (leader della squadra di pallacanestro dell'ITIS).
Forse domani sul settimale "Eco della volpe", di cui è redattore Di Gomma senior, saranno pubblicati ragguagli in merito.
Gioco di squadra [1], che voleva essere un aiuto alla soluzione di questo quesito, è stato dimenticato?
Ciao
B.
"orsoulx":
"orsoulx":
Gioco di squadra [1], che voleva essere un aiuto alla soluzione di questo quesito, è stato dimenticato?
No, ovviamente, ma in quel caso si potevano riordinare la carte, qui no, perciò non mi viene il collegamento ...
Cordialmente, Alex
Come prevedevo, oggi nella prima pagina del settimanale locale, compare un articolo, con fotografia di Di Gomma junior, in cui viene dato risalto al successo della commissione incaricata di studiare la miglior strategia per affrontare la gara. L'amor paterno finisce col mettere in secondo piano il contributo della prof. Precisi, mentre esalta l'idea del rampollo, di consegnare fotografie dei componenti le squadre in tenuta da pallacanestro. In modo da rendere immediato associare a ciascun partecipante un numero progressivo.
Se hai capito che $ m $ fosse fissato, ma ignoto, ho sbagliato nel sunteggiare il regolamento; provvederò a correggere.
Ciao
B.
"axpgn":
Ma $ m $ non è fissato a priori?
Se hai capito che $ m $ fosse fissato, ma ignoto, ho sbagliato nel sunteggiare il regolamento; provvederò a correggere.
Ciao
B.
Riassumo per verificare se ho capito.
La scuola schiera una squadra di $m$ giocatori con $m$ scelto razionalmente tra 8 e 37 estremi esclusi.
La scuola organizza $m$ spedizioni ciascuna di $n$ cercatori con $8
Non ho capito se i componenti di una spedizione possono comunicare tra loro in qualche modo, ad esempio manipolando l'ordine delle foto. NB: riordinare le foto dà informazione, non verbale, occulta, ma pur sempre informazione è.
Senza informazioni le probabilità di successo sono basse.
La scuola schiera una squadra di $m$ giocatori con $m$ scelto razionalmente tra 8 e 37 estremi esclusi.
La scuola organizza $m$ spedizioni ciascuna di $n$ cercatori con $8
Non ho capito se i componenti di una spedizione possono comunicare tra loro in qualche modo, ad esempio manipolando l'ordine delle foto. NB: riordinare le foto dà informazione, non verbale, occulta, ma pur sempre informazione è.
Senza informazioni le probabilità di successo sono basse.
- Ad esempio sia $m=n=10$.
Un cercatore gira 5 foto; la probabilità di trovare la sua foto è \(5/10=1/2\)
La probabilità di successo di una spedizione di 10 cercatori è \(1/2^{10}=1/1024\)
Per 10 spedizioni è \(10/1024\), circa 1%.
Una scuola di $t=100$ alunni può vincere 1000 euri, bella cifra, ma solo nel 1% dei casi.
[/list:u:2rvoh3t1]Il gioco vale la candela ? Per me no.
Ma l'informazione può rivoluzionare tutto.
No Rik, nessuna informazione. Diciamo che gli $ n $ giocatori girano le loro carte contemporaneamente, su $ n $ terminali diversi, senza alcuna possibilità di comunicare...
...Eppure la coppia Precisi - Di Gomma ha trovato il modo di trasformare quel misero 1% di probabilità di vittoria in un, interessante, meno dello 0.0002% di probabilità di sconfitta.
Ciao
B.
...Eppure la coppia Precisi - Di Gomma ha trovato il modo di trasformare quel misero 1% di probabilità di vittoria in un, interessante, meno dello 0.0002% di probabilità di sconfitta.
Ciao
B.
La notizia è arrivata ai piani alti. Ieri, su RAI3, nel TGR della Nassa, hanno intervistato la Precisi all'uscita dalla scuola. Timidamente e un po' a disagio, ha detto:
- no! Niente matematica complicata. Mi sono ricordata di un vecchio solitario che faceva mia nonna. Si sistemano le carte coperte su quattro file, lasciandone fuori quattro. Si comincia con una di queste che viene messa al proprio posto; quella che si trovava lì viene girata e messa al posto giusto...; quando si trova un Re viene sistemato in fondo alla propria fila e si passa ad un'altra carta delle quattro (se ce sono ancora). Alla fine se tutte l carte sono scoperte il solitario è riuscito -
- ho pure letto una discussione sul forum di Matematicamente che mi ha aiutato. Abbiamo provato in classe e funziona. Un mio alunno, che per l'informatica è più bravo di me, ha anche fatto un programma che simula il gioco e i risultati sono stupefacenti -
- adesso lasciatemi andare, che domani, alla biblioteca comunale, devo spiegarlo e mi devo preparare, il perché funzioni non è, per ora, chiarissimo neppure a me. -
Ciao
B.
- no! Niente matematica complicata. Mi sono ricordata di un vecchio solitario che faceva mia nonna. Si sistemano le carte coperte su quattro file, lasciandone fuori quattro. Si comincia con una di queste che viene messa al proprio posto; quella che si trovava lì viene girata e messa al posto giusto...; quando si trova un Re viene sistemato in fondo alla propria fila e si passa ad un'altra carta delle quattro (se ce sono ancora). Alla fine se tutte l carte sono scoperte il solitario è riuscito -
- ho pure letto una discussione sul forum di Matematicamente che mi ha aiutato. Abbiamo provato in classe e funziona. Un mio alunno, che per l'informatica è più bravo di me, ha anche fatto un programma che simula il gioco e i risultati sono stupefacenti -
- adesso lasciatemi andare, che domani, alla biblioteca comunale, devo spiegarlo e mi devo preparare, il perché funzioni non è, per ora, chiarissimo neppure a me. -
Ciao
B.
Penso di aver intuito, butto solo un'idea e domani, se riesco, formalizzo (sempre che funzioni ... )
Cordialmente, Alex
P.S.: era proprio il solitario che facevo da bambino ...
)Cordialmente, Alex
P.S.: era proprio il solitario che facevo da bambino ...
Formalizzazione:
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ho scritto alla prof. Precisi che, gentilissima, mi ha prontamente inviato le fotografie degli appunti per la conferenza che ha tenuto nella biblioteca comunale di Volpetta. Sicuramente è un'ottima insegnante, non mi ha sorpreso apprendere che il suo nome è Chiara: al contrario delle mie affermazioni, sempre criptiche e sibilline, le sue spiegazioni sono di una semplicità affascinante. Ne riporto, come ultimo aiuto, il sunto di alcune parti.
Procedendo gradualmente, dalle situazioni più semplici a quelle più complesse, prendendo in considerazione solo un numero pari di cercatori in ciascuna spedizione, supponiamo che siano due e rappresentiamoli con i numeri $ 1 $ e $ 2 $.
Se scelgono a caso la fotografia da girare, la probabilità di trovare quella giusta [d'ora in poi p(VG)] per ognuno di loro è $ p(VG)=1/2 $, ed allora la probabilità che la spedizione abbia successo è $ p(AS)=(1/2)^2=1/4 $.
Con due spedizioni, la probabilità di vittoria per la squadra sarà $ p(V)=1- (1-1/4)^2=7/16=43.75% $.
Per aumentare questo valore basta, però, eliminare la possibilità che i due componenti la spedizione girino la medesima fotografia (in questo caso la sconfitta è certa); cosa fattibile scegliendo, ad esempio, di girare la foto che si trova nella posizione corrispondente al proprio numero. Se il giocatore $ 1 $ trova la propria foto, lo stesso avviene anche per il $ 2 $, ed allora è: $ p(AS)=1/2 $ e $ p(V)=1-(1-1/2)^2=3/4=75% $.
Passando a spedizioni di quattro cercatori, abbiamo, nel caso di mosse casuali: $ p(VG)=1/2 $, $ p(AS)=(1/2)^4=1/16 $ e $ p(V)=1-(1-1/16)^4=22.75...% $.
Anche questa volta possiamo cercare di aumentare questa probabilità, girando le fotografie in posizioni prestabilite. Riportiamo tutte le $ 24 $ possibili disposizioni:
[size=150]1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431
3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321 [/size]
Ad esempio se i giocatori $ 1, 2 $ girano le foto nelle prime due posizioni e gli altri due nelle ultime, avremo $ p(AS)=1/6 $.
Ma un risultato ancor migliore si può ottenere sostituendo ad un approccio 'statico' predeterminato, uno 'dinamico' nel quale, quando non si trovi la propria foto al primo colpo, la seconda da girare dipende da chi compare in questa foto.
... omissis ...
Si può n otare che, con questa strategia, le dieci permutazioni colorate in verde portano alla vittoria, e avremo quindi: $ p(AS)=5/12 $ da cui $ p(V)= 1-(1-5/12)^4=88.42...% $.
Miracoloso? Non proprio. Se andiamo a contare quante volte il singolo esploratore trova la propria fotografia, nelle dieci permutazioni verdi questo capita per tutti i quattro giocatori e, nelle otto nere per uno solo dei quattro. In tutto $ 48 $ ritrovamenti, che continuano ad essere esattamente la metà dei $ 96 $ tentativi possibili. Semplicemente i casi favorevoli e quelli sfortunati si concentrano in certe permutazioni, abbandonando le restanti.
Al crescere del numero di giocatori, mentre la probabilità di vittoria con la strategia casuale diminuisce, quella con la strategia 'dinamica' cresce, nel senso che il piccolissimo calo di $ p(AS) $ viene surclassato dall'aumento dell'esponente nel calcolo di $p(V) $.
Ciao
B.
Procedendo gradualmente, dalle situazioni più semplici a quelle più complesse, prendendo in considerazione solo un numero pari di cercatori in ciascuna spedizione, supponiamo che siano due e rappresentiamoli con i numeri $ 1 $ e $ 2 $.
Se scelgono a caso la fotografia da girare, la probabilità di trovare quella giusta [d'ora in poi p(VG)] per ognuno di loro è $ p(VG)=1/2 $, ed allora la probabilità che la spedizione abbia successo è $ p(AS)=(1/2)^2=1/4 $.
Con due spedizioni, la probabilità di vittoria per la squadra sarà $ p(V)=1- (1-1/4)^2=7/16=43.75% $.
Per aumentare questo valore basta, però, eliminare la possibilità che i due componenti la spedizione girino la medesima fotografia (in questo caso la sconfitta è certa); cosa fattibile scegliendo, ad esempio, di girare la foto che si trova nella posizione corrispondente al proprio numero. Se il giocatore $ 1 $ trova la propria foto, lo stesso avviene anche per il $ 2 $, ed allora è: $ p(AS)=1/2 $ e $ p(V)=1-(1-1/2)^2=3/4=75% $.
Passando a spedizioni di quattro cercatori, abbiamo, nel caso di mosse casuali: $ p(VG)=1/2 $, $ p(AS)=(1/2)^4=1/16 $ e $ p(V)=1-(1-1/16)^4=22.75...% $.
Anche questa volta possiamo cercare di aumentare questa probabilità, girando le fotografie in posizioni prestabilite. Riportiamo tutte le $ 24 $ possibili disposizioni:
[size=150]1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431
3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321 [/size]
Ad esempio se i giocatori $ 1, 2 $ girano le foto nelle prime due posizioni e gli altri due nelle ultime, avremo $ p(AS)=1/6 $.
Ma un risultato ancor migliore si può ottenere sostituendo ad un approccio 'statico' predeterminato, uno 'dinamico' nel quale, quando non si trovi la propria foto al primo colpo, la seconda da girare dipende da chi compare in questa foto.
... omissis ...
Si può n otare che, con questa strategia, le dieci permutazioni colorate in verde portano alla vittoria, e avremo quindi: $ p(AS)=5/12 $ da cui $ p(V)= 1-(1-5/12)^4=88.42...% $.
Miracoloso? Non proprio. Se andiamo a contare quante volte il singolo esploratore trova la propria fotografia, nelle dieci permutazioni verdi questo capita per tutti i quattro giocatori e, nelle otto nere per uno solo dei quattro. In tutto $ 48 $ ritrovamenti, che continuano ad essere esattamente la metà dei $ 96 $ tentativi possibili. Semplicemente i casi favorevoli e quelli sfortunati si concentrano in certe permutazioni, abbandonando le restanti.
Al crescere del numero di giocatori, mentre la probabilità di vittoria con la strategia casuale diminuisce, quella con la strategia 'dinamica' cresce, nel senso che il piccolissimo calo di $ p(AS) $ viene surclassato dall'aumento dell'esponente nel calcolo di $p(V) $.
Ciao
B.
"orsoulx":
... Ne riporto, come ultimo aiuto, il sunto di alcune parti. ...
E poi cosa fai, ci spari?
Premesso che ci ragionerò sopra, ad una prima occhiata credo di aver capito quello che mi mancava ... riflettendo su $n=4$, ero giunto alla conclusione che le combinazioni in cui NESSUNO trova la propria foto erano $(n!)/n$, il che probabilmente è vero ma NON mi serve, avrei invece dovuto concentrarmi (come hai fatto tu) su quante erano invece le combinazioni in cui TUTTI trovavano quella giusta, dando troppo presto per scontato che fossero troppo poche ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
E poi cosa fai, ci spari?
Sono un non violento, al più, mi vedrei costretto, a richiesta, ad eliminare l'omissis.
"axpgn":
...(come hai fatto tu)...
Come ha fatto la Prof. Chiara Precisi da Volpetta. Mi limito a riferire... magari malamente.
Ciao
B.
Una domanda: come fai ad essere sicuro che la probabilità cresca? Ovvero come calcoli le permutazioni "vincenti", cioè quelle che permettono a $n$ foto di poter essere suddivise in sottogruppi "chiusi" di $n/2$ foto (al massimo)?
La strategia vincente era già evidente dall'altro thread (e cioè ogni giocatore ha un numero, esplicitato sulla foto o solo virtuale è indifferente; ogni giocatore gira la carta che sta nella posizione corrispondente al suo numero, se non è la sua foto, gira la carta che sta nella posizione corrispondente al numero del giocatore nella foto fino a quando ne ha capovolte la metà), la difficoltà (almeno per me) stava nel determinare quanto fosse la relativa probabilità (che non mi è mai sembrata particolarmente favorevole ed invece ...)
Cordialmente, Alex
La strategia vincente era già evidente dall'altro thread (e cioè ogni giocatore ha un numero, esplicitato sulla foto o solo virtuale è indifferente; ogni giocatore gira la carta che sta nella posizione corrispondente al suo numero, se non è la sua foto, gira la carta che sta nella posizione corrispondente al numero del giocatore nella foto fino a quando ne ha capovolte la metà), la difficoltà (almeno per me) stava nel determinare quanto fosse la relativa probabilità (che non mi è mai sembrata particolarmente favorevole ed invece ...)
Cordialmente, Alex
Alex, scusa il ritardo, ma non disponevo di connessione.
Ciao
B.
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Ciao
B.
Grazie, .
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