Giochino semplice ma che non riesco a capire

[nicolaflute]

Ciao a tutti da poco ho notato un giochino matematico simpatico,
il testo è senza usare calcolatrice calcola la differenza che c'è tra
[tex]\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}}}}}}}[/tex] e [tex]\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{1995}}}}}}}}}}[/tex].
Qualcuno mi può aiutare dandomi un aiuto, cioè mi spiego; non riesco a trovare un modo per trovare la differenza.
Grazie a tutti

[alfaceti]

scrivi diversamente i due numeri. Moltiplica gli indici delle radici e ottieni due radici con lo stesso indice...

[nicolaflute]

L'ho già fatto ma poi? Vabè intanto le riscrivo
[tex]\sqrt[1024]{5}[/tex] [tex]\sqrt[1024]{1995}[/tex]

[@melia]

Ma la domanda è trovare il risultato di una sottrazione o cercare i legami tra i due valori?

[Gi81]

Tieni presente che $1995=5*399=> root1024 1995= root1024 5 * root1024 399$
Dunque quando esegui la differenza
$root1024 1995 - root1024 5$ puoi fare un raccoglimento

[alfaceti]

ma da dove ti esce quel numero? 1024??

[Gi81]

"alfaceti":ma da dove ti esce quel numero? 1024??

Ci sono $10$ radici quadrate (quindi di indice $2$) una dentro l'altra, che è come averne una sola di indice $2^10=1024$

[nicolaflute]

La domanda è capire approssimativamente qual'è la differenza tra i due radicali. Se non ricordo male

[@melia]

"nicolaflute":La domanda è capire approssimativamente qual'è la differenza tra i due radicali. Se non ricordo male

Ripeto la domanda: intendi la differenza in senso matematico, cioè il risultato di una sottrazione?

[nicolaflute]

Si la differenza in senso matematico.Scusa

[@melia]

Allora la risposta migliore è quella di Gi8

[nicolaflute]

Ok la migliore è la sua ma ancora non sono riuscito ad arrivare a un risultato. Cioè sicuramente mi sono spiegato male perchè il quesito simpatico chiede di trovare un risultato numerico quindi anche se scompongo il problema è trovare [tex]\sqrt[1024]{399}*5[/tex] intendo il risultato numerico approssimato.

[giannirecanati]

Puoi portare i radicali in esponenti frazionari -->[tex]1995^\left( \frac{1}{1024} \right)[/tex] - [tex]5^\left( \frac{1}{1024}\right)[/tex] puoi adesso scomporre come proposto precedentemente 1995 come 5 x 399, ottenendo [tex]5^\left( \frac{1}{1024} \right)[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]399^\left( \frac{1}{1024} \right)[/tex] -[tex]5^\left( \frac{1}{1024}\right)[/tex]. A questo punto dovresti eseguire la moliplicazione, però credo che potresti operare lo stesso la sottrazione, il concetto è questo moltiplicare 5 per 399 e togliere 5, non è uguale a dire 5 per 398? Sulla base di questa osservazione credo che il risultato giusto sia [tex](5\cdot398)^\left( \frac{1}{1024} \right)[/tex]=[tex]1990^\left( \frac{1}{1024} \right)[/tex].

[alfaceti]

$5^(1/1024)*399^(1/1024) - 5^(1/1024) = 5^(1/1024)*(399^(1/1024) - 1)$
Io non riesco a capire come si può fare per rendere quel numero più semplice. Ma dove lo hai trovato questo giochino?

[giannirecanati]

Volevo sapere se l'autore del topic, o chiunque altro, potesse confermare la soluzione che ho proposto.
@alfaceti: se la mia soluzione è giusta un'idea te la può rendere risolvere questo quesito:
[tex]\sqrt2^{20} - \sqrt2^{19}[/tex].

[gugo82]

Una cosa simpatica.
Se uno volesse solamente una stima dall'alto della differenza tra quei due numeri, potrebbe procedere in questo modo.

Innanzitutto, ricordo la formula:

(*) [tex]$\sqrt{x} -\sqrt{y}\leq \sqrt{x-y}$[/tex]

che vale per [tex]$x\geq y\geq 0$[/tex].

Poi noto che, se ho due radici trovo:

[tex]$\sqrt{\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{y}}\leq \sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\leq \sqrt{\sqrt{x-y}}$[/tex]

applicando due volte la relazione (*); se ho tre radici, con lo stesso metodo ottengo:

[tex]$\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{y}}}\leq \sqrt{\sqrt{\sqrt{x-y}}}$[/tex]...

A questo punto è evidente che con dieci radici otterrò una cosa del genere:

[tex]$\sqrt[1024]{x}-\sqrt[1024]{y}\leq \sqrt[1024]{x-y}$[/tex].

Sostituendo [tex]$x=1995$[/tex] ed [tex]$y=5$[/tex] avrò infine:

[tex]$\sqrt[1024]{1995} -\sqrt[1024]{5}\leq \sqrt[1024]{1990} \approx 1.00745$[/tex].

@giannirecanati: Ovviamente no.
Praticamente stai dicendo che:

[tex]$399^{\frac{1}{1024}} -1=398^{\frac{1}{1024}}$[/tex],

il che è falso.

[Gi81]

@gugo: in realtà quella non è una stima molto interessante: $a:=root1024 1995 -root1024 5= root1024 5 *(root1024 399 -1)\approx 0.00587495808
Quindi sapere che $a<= 1.00745$ non ci dice molto.

[Rigel1]

Io stimerei con $\frac{\log{399}}{1024} \sim \frac{3}{512}$.

[cenzo1]

Complimenti Rigel!

$\lim_{x->0}(a^x-1)/x=log(a)$ quindi $a^x-1\sim log(a)*x$ con $a=399$ e $x=1/1024$ abbastanza piccolo

(inoltre $root{1024}{5}\sim1$)

[gugo82]

"Gi8":@gugo: in realtà quella non è una stima molto interessante: $a:=root1024 1995 -root1024 5= root1024 5 *(root1024 399 -1)\approx 0.00587495808
Quindi sapere che $a<= 1.00745$ non ci dice molto.

Ma infatti non ho usato l'aggettivo "interessante", ma "simpatico".

Il ragionamento serviva solo a mostrare come usare ricorsivamente una proprietà delle potenze ad esponente [tex]$<1$[/tex].

[nicolaflute]

Ok grazie delle risposte, chiarisco meglio dove l'ho trovato
L'ho trovato nel mio libro di algebra del liceo.
Se non sbaglio era un gioco delle olimpiadi matematiche
Comunque apparte tutte le semplificazioni la risposta di Gugo sembra quella che si avvicina il risultato; però alle semplificazioni credo di arrivarci
il problema che mi pongo è come trovare senza l'aiuto di una calcolatrice, solo carta e penna al risultato 0.0058749580750641709646730176421835633098332951400840624786...???Senza logaritmi, e proprietà particolari?