Giochino di probabilità

[alfabeta2]

Salve a tutti.

Ho assistito a delle discussioni sulla soluzione di questo problema:

Un segugio addestrato ha il 64% di probabilità di fiutare la pista giusta. Ipotizzando che 3 segugi fiutino la stessa pista, qual'è la probabilità che la suddetta pista sia quella giusta?

Voi come lo risolvereste?

[Faussone]

Forse si potrebbe trasporre il problema così:
Tre daltonici gemelli sbagliano nel classicare una pallina rossa il 36% delle volte.
Hanno davanti $n$ palline di cui $m$ rosse. Tutti e tre indipendentemente classificano la pallina numero $k$ rossa, che probabilità c'è che tale pallina sia effettivamente rossa?

PS: Grazie a tutti per le correzioni ai miei errori e agli spunti di riflessione che mi avete già dato!

[cenzo1]

"Faussone":Forse si potrebbe trasporre il problema così:
Tre daltonici gemelli sbagliano nel classicare una pallina rossa il 36% delle volte.
Hanno davanti $n$ palline di cui $m$ rosse. Tutti e tre indipendentemente classificano la pallina numero $k$ rossa, che probabilità c'è che tale pallina sia effettivamente rossa?

Molto interessante la tua trasposizione.

Alcune riflessioni:
Io interpreterei così la probabilità del 36%: uno dei soggetti daltonici, posto davanti ad una (e una sola) pallina rossa, in 64 casi su 100 individua correttamente il colore. In 36 casi su 100 non individua correttamente il colore (potrà dire giallo, verde, blu, ecc.).

Nel caso dei cani, come trasporre? Un cane, posto davanti ad una (e una sola) pista giusta (rossa), in 64 casi su 100 fiuta la pista (segue quella pista) e in 36 casi su 100... decide di restare fermo ?

Noto un'altra differenza. Il soggetto daltonico, posto davanti ad $n$ palline, per ciascuna di esse potrà esprimere un giudizio (rosso/non rosso). Cosa accade invece per il cane, posto davanti ad $n$ piste? Potrà giudicare buona (rossa) anche più di una pista? Alla fine però ne sceglie una sola (?).
E' come se il giudizio del daltonico viene ripetuto per ogni pallina, mentre il cane compie un'unica scelta globale.

Il problema dei daltonici mi appare ben posto (anche se forse manca qualche dato.. vedi dopo..)

Direi che la richiesta del problema è: Probabilità(la pallina k è rossa dato che tutti e 3 giudicano la pallina k rossa)
In pratica applichiamo il teorema di Bayes, quindi nel nostro caso:
$P("k è R" | "tutti e 3 giudicano k R")=(P("k è R" \cap "tutti e 3 giudicano k R"))/(P("tutti e 3 giudicano k R"))=(P("tutti e 3 giudicano k R"|"k è R")*P("k è R"))/(P("tutti e 3 giudicano k R"|"k è R")*P("k è R")+P("tutti e 3 giudicano k R"|"k non è R")*P("k non è R"))$

Ora $P("tutti e 3 giudicano k R"|"k è R")=0.64^3$ (i giudizi dei tre sono indipendenti)

Invece $P("tutti e 3 giudicano k R"|"k non è R")=(P("uno giudica k R"|"k non è R"))^3$ (sempre per la supposta indipendenza).

Però il testo del problema, mentre mi dice la probabilità di individuare correttamente il colore rosso (posto che la pallina è rossa, la individuo correttamente nel 64% dei casi e sbaglio nel 36% dei casi), nulla mi dice circa la probabilità di individuare correttamente il colore dato che il colore è sbagliato, ovvero non mi dice la probabilità complementare di asserire correttamente che il colore non è rosso quando effettivamente non è rosso. In pratica sappiamo la % dei falsi negativi (36%), ma non sappiamo la % dei falsi positivi!
Dovremmo quindi introdurre l'ulteriore dato che, ad esempio, una pallina non rossa è riconosciuta come non rossa nell'80% dei casi...
da cui poi $P("uno giudica k R"|"k non è R")=0.20$

Occorre poi stabilire la probabilità che la pallina k è rossa $P("k è R")$
Con i dati a disposizione direi che tale probabilità vale $P("k è R")=m/n=d$

Sostituendo nella formula di Bayes avremmo:
$P=(0.64^3*d)/(0.64^3*d+0.20^3*(1-d))$

Se ad esempio la metà delle palline è rossa, $d=0.5$ e risulta $P=0.97$ (probabilità a posteriori maggiore di quella a priori di $0.5$).

Mi sembra che la formula dia risultati "accettabili" anche nei casi estremi.
Se $d=0$ (nessuna pallina è rossa), risulta $P=0$

Se $d=1$ (sono tutte rosse), risulta $P=1$

Scusate il post lungo. Il tutto sempre salvo errori e/o omissioni.

[Faussone]

Grazie mille per la la risposta!

Riguardo ai dubbi sull'equivalenza dei due problemi sono d'accordo con te; il fatto è che il problema dei cani così come è scritto, (a parte l'interpretazione di scegliere fra due sole piste possibili che avevi fatto all'inizio), dopo lunga riflessione, mi sembra posto male. Almeno quello dei daltonici è ben definito. Riguardo alla mancanza della percentuale dei falsi positivi, io intendevo (non l'ho scritto chiaramente è vero) che anche nel caso che la pallina non fosse rossa la probabilità con la quale il daltonico rispondesse correttamente fosse del 64%, ma comunque questo non è molto rilevante.

Ho dato un'occhiata alla soluzione preposta da te e mi torna tutto, ma non ho tempo per ora di rifletterci con calma.
In caso avessi altri dubbi più avanti su questo approfitterò della tua cortesia...

Grazie ancora!

[cenzo1]

"Faussone":Grazie mille per la risposta!

Prego, figurati, ho trovato il confronto tra i due problemi molto istruttivo.

I problemi mal posti possono essere più interessanti di quelli classici (e a volte scontati) presi sui libri; secondo me evidenziano le difficoltà (e le insidie) nel fare un modello matematico di un problema "reale".