Giochino di probabilità
Salve a tutti.
Ho assistito a delle discussioni sulla soluzione di questo problema:
Un segugio addestrato ha il 64% di probabilità di fiutare la pista giusta. Ipotizzando che 3 segugi fiutino la stessa pista, qual'è la probabilità che la suddetta pista sia quella giusta?
Voi come lo risolvereste?
Ho assistito a delle discussioni sulla soluzione di questo problema:
Un segugio addestrato ha il 64% di probabilità di fiutare la pista giusta. Ipotizzando che 3 segugi fiutino la stessa pista, qual'è la probabilità che la suddetta pista sia quella giusta?
Voi come lo risolvereste?
Risposte
La probabilità che tutti e tre i segugi sbaglino, quindi che la pista sia sbagliata, è $0.36^3$, per cui la probabilità che la pista sia giusta è $1-0,36^3= 95%$
Sicuro????
Di sicuro non c'è niente. Diciamo sono sicuro quanto la probabilità che la pista sia giusta ( il 95% ?).
"Faussone":
La probabilità che tutti e tre i segugi sbaglino, quindi che la pista sia sbagliata, è $0.36^3$, per cui la probabilità che la pista sia giusta è $1-0,36^3= 95%$
$1-0,36^3= 95%$ è la probabilità del'evento contrario, quindi la probabilità che almeno uno fiuti la pista giusta (non necessariamente quindi tutti e tre).
Io risolverei con la probabilità condizionata:
$P("giusta"|"stessa pista")=(P("giusta"\cap"stessa pista"))/(P("stessa pista"))=0.64^3/(0.64^3+0.36^3)\approx 85%$
"Faussone":
Di sicuro non c'è niente. Diciamo sono sicuro quanto la probabilità che la pista sia giusta ( il 95% ?).
"cenzo":
[quote="Faussone"]La probabilità che tutti e tre i segugi sbaglino, quindi che la pista sia sbagliata, è $0.36^3$, per cui la probabilità che la pista sia giusta è $1-0,36^3= 95%$
$1-0,36^3= 95%$ è la probabilità del'evento contrario, quindi la probabilità che almeno uno fiuti la pista giusta (non necessariamente quindi tutti e tre).
Io risolverei con la probabilità condizionata:
$P("giusta"|"stessa pista")=(P("giusta"\cap"stessa pista"))/(P("stessa pista"))=0.64^3/(0.64^3+0.36^3)\approx 85%$[/quote]
Già.
C.v.d.
Anche i migliori sbagliano, figuriamoci i non migliori
Mi sembra corretto.
PS. Andava benissimo in sezione probabilità&statistica (è un problema classico).
PS. Andava benissimo in sezione probabilità&statistica (è un problema classico).
"cenzo":
$P("giusta"|"stessa pista")=(P("giusta"\cap"stessa pista"))/(P("stessa pista"))=0.64^3/(0.64^3+0.36^3)\approx 85%$
io non so niente di probabilità, l'unico modo che ho per risolvere tali problemi è ragionando:
non mi è chiaro come arrivi al risultato, ho capito che stiamo facendo: la probabilità che cerchiamo è data da [tex]$\frac{p_1}{p_2}$[/tex]
con [tex]$p_1=$[/tex] probabilità che tutti e tre scelgano la stessa pista, e che sia anche giusta
e [tex]$p_2=$[/tex] probabilità che tutti e tre scelgano la stessa pista.
ma non mi è chiaro perchè [tex]$p_1,p_2$[/tex] abbiano proprio quei valori. qualcuno può spiegarmelo?
In effetti io ho capito che avevo preso il problema alla leggera e scritto una baggianata, ma devo dire che non ho compreso neanch'io la soluzione di cenzo.
Ora come ora mi viene da pensare che occorrerebbe specificare tra quante piste diverse i segugi possono scegliere, ma anch'io di statistica so molto poco...
Aspettiamo chiarimenti da Rggb e/o cenzo.
EDIT: ...in effetti ora che ci penso la probabilità che scelgano la stessa pista è la somma della probabilità che scelgano tutti e tre la pista giusta più quella che scelgano tutti e tre quella sbagliata, come scritto da cenzo.
Ora come ora mi viene da pensare che occorrerebbe specificare tra quante piste diverse i segugi possono scegliere, ma anch'io di statistica so molto poco...
Aspettiamo chiarimenti da Rggb e/o cenzo.
EDIT: ...in effetti ora che ci penso la probabilità che scelgano la stessa pista è la somma della probabilità che scelgano tutti e tre la pista giusta più quella che scelgano tutti e tre quella sbagliata, come scritto da cenzo.
SOLUZIONE (non mia, ma presa da una persona un po' saccente ma competente 
)
Questa non è che la dimostrazione, nel caso più generale di m ed n generici, di una risposta in funzione della "densità di piste giuste" d=m/n che non è altro che la risposta di Cenzo nell'ipotesi ulteriore d=1/2 (infatti è evidente che il suo ragionamento assume, implicitamente, p(S)=p(G): non vi è alcun accenno alla possibile complicazione dovuta a una non equiprobabilità).
)
Supporrò per semplicità nel seguito che vi siano n piste delle quali m giuste (m e n possono essere interi positivi o anche infiniti purché m/n sia fissato e diverso da 0 e da 1 perché abbia senso parlare di probabilità condizionate evitando eventi q.c. o loro complementari; assumerò comunque numerabilità per non tediarvi con la probabilità del continuo). Userò inoltre la seguente notazione: C indica l'evento "un segugio ha fiutato la tal pista", T "tre segugi hanno fiutato tutti la tal pista", S "la tal pista è sbagliata", e infine G "la tal pista è giusta". Con "la tal pista" intendo una qualsiasi particolare pista, diciamo per fissare le idee la numero 33650821978447; ovviamente gli eventi relativi invece a una qualsiasi pista hanno probabilità che si ottengono moltiplicando per n quelle che calcolo io nel seguito. Il dato del problema è che p(G|C)=0.64; il quesito da risolvere è il calcolo di p(G|T).
Dal dato si può immediatamente dedurre che p(S|C)=1-p(G|C)=0.36. Poiché le piste sono a priori indistinguibili si ha che p(C)=1/n, p(G)=m/n, p(S)=(n-m)/n. Altri semplici calcoli ci portano a dire che p(C|G)=0.64/m e che p(C and G)=0.64/n, e analogamente p(C|S)=0.36/(n-m) e p(C and S)=0.36/n.
Il nodo del problema è capire se gli eventi di tipo C per i tre cani, chiamiamoli C1, C2 e C3, siano indipendenti oppure no. Possiamo ragionevolmente supporre che siano condizionalmente indipendenti (tecnicamente: condizionando rispetto alla sigma-algebra della variabile aleatoria "giustezza della pista"), ma è viceversa del tutto irragionevole supporre che siano assolutamente indipendenti. Basti pensare per convincersene al caso m=1, n=Inf: se una sola di infinite piste è quella giusta e i cani hanno però il 64% di chances di beccarla, è difficile sostenere che dopo che il primo ha fiutato la pista numero 33650821978447 non ci aspettiamo che anche il secondo vada lì... Risolverò quindi il problema nell'ipotesi più interessante (e realistica) che gli eventi dei cani NON siano assolutamente indipendenti.
In questo scenario, mentre p(T|G)=p(C|G)^3=(0.64)^3/m^3, e analogamente si può calcolare p(T|S), assai meno immediata è la stima di p(T) che sarà diversa da p(C)^3.
Più in dettaglio,
p(T)=p(T and G)+p(T and S) = (0.64)^3/nm^2+(0.36)^3/n(n-m)^2
Abbiamo ora tutto per calcolare p(G|T)=p(T|G)*p(G)/p(T)=[1+(m/(n-m))^2*(36/64)^3]^(-1) = [1+(d/1-d)^2*(36/64)^3]^(-1)
Questa non è che la dimostrazione, nel caso più generale di m ed n generici, di una risposta in funzione della "densità di piste giuste" d=m/n che non è altro che la risposta di Cenzo nell'ipotesi ulteriore d=1/2 (infatti è evidente che il suo ragionamento assume, implicitamente, p(S)=p(G): non vi è alcun accenno alla possibile complicazione dovuta a una non equiprobabilità).
Effettivamente anche io assumevo una cosa tipo "pista A giusta, pista B sbagliata" (un po' come dire 64 palline rosse su 100, per tre estrazioni, quindi assolutamente indipendenti). Questo ragionamento è molto più raffinato.
Opinione: una complicazione inutile.
Opinione: una complicazione inutile.
"blackbishop13":
ma non mi è chiaro perchè [tex]$p_1,p_2$[/tex] abbiano proprio quei valori. qualcuno può spiegarmelo?
Il numeratore $p_1=P("giusta"\cap"stessa pista")$ è la probabilità che tutti e 3 i cani scelgano la pista giusta.
La probabilità che un cane scelga la pista giusta è $0.64$
Nell'ipotesi che la scelta della pista sia indipendente tra i 3 cani (il problema non fornisce dati al riguardo..) allora posso trovare la probabilità che tutti e 3 scelgano la pista giusta (intersezione di 3 eventi) moltiplicando tra loro la probabilità che ciascuno scelga la pista giusta, da cui esce il $0.64^3$
La probabilità $p_2$ che figura al denominatore è la probabilità che scelgano la stessa pista.
Come ha detto Faussone, tale probabilità è la somma delle due probabilità (eventi incompatibili) che scelgano la stessa pista e sia giusta ($0.64^3$) più la probabilità che scelgano la stessa pista e sia quella sbagliata ($0.36^3$).
ma allora stiamo considerando solo 2 piste? 
In pratica sì: vedi il mio intervento precedente.
Quando ho inquadrato il problema, ho classificato l'evento descritto nel modo che ho detto; sarebbe come portare il nostro segugio in un campo gara dove ci sono due corsie delimitate e etichettate "A" e "B", una giusta a priori e una sbagliata a priori.
La soluzione proposta, viceversa, cerca di modellare una situazione reale.
Quando ho inquadrato il problema, ho classificato l'evento descritto nel modo che ho detto; sarebbe come portare il nostro segugio in un campo gara dove ci sono due corsie delimitate e etichettate "A" e "B", una giusta a priori e una sbagliata a priori.
La soluzione proposta, viceversa, cerca di modellare una situazione reale.
"alfabeta":
SOLUZIONE (non mia, ma presa da una persona un po' saccente ma competente
Abbiamo ora tutto per calcolare p(G|T)=p(T|G)*p(G)/p(T)=[1+(m/(n-m))^2*(36/64)^3]^(-1) = [1+(d/1-d)^2*(36/64)^3]^(-1)
Ciao alfabeta, se ho "letto bene" la formula proposta sarebbe: $1/(1+(d/(1-d))^2*(0.36/0.64)^3)$ (mi puoi confermare?)
Se ho interpretato bene la formula, ho notato una incongruenza (così mi sembra almeno):
Supponiamo che $m=99$ e $n=100$ (99 piste giuste e una soltanto sbagliata).
In tal caso $d=m/n=0.99$. La probabilità a priori di scegliere una pista giusta è di $0.99$.
Se applico la tua formula risulterebbe $P(G|T)=1/(1+(99)^2*(0.36/0.64)^3)\approx 0.00057$
Quindi la probabilità a posteriori che la pista scelta sia giusta, dato che 3 cani hanno fiutato tutti la stessa pista risulterebbe molto bassa (più bassa del 99% a priori). Mi sembra apparentemente una situazione anomala.. come la spieghi ?
Faccio un altro tentativo, sperando di non scrivere baggianate troppo grandi, sono un iper-dilettante in statistica, ma sono molto curioso e mi piace/diletta appunto.
Ragionando mi sembra un problema risolvibile con il teorema di Bayes (mi riferisco al caso di $m$ sentieri giusti su $n$ totali).
Usando la notazione introdotta.
$P(G|T)=\frac{P(T|G)*P(G)}{P(T)}$
A me sembra che $P(T|G)=0,64^3$ che $P(G)=m/n$ (probabilità che una pista a caso sia giusta) e che $P(T)=(1/n)^2$, probabilità che scegliendo tre piste a caso su $n$ disponibili si scelga la stessa.
Sono sicuro che c'è qualcosa che non va però....
E' proprio tutto sbagliato?
Ragionando mi sembra un problema risolvibile con il teorema di Bayes (mi riferisco al caso di $m$ sentieri giusti su $n$ totali).
Usando la notazione introdotta.
$P(G|T)=\frac{P(T|G)*P(G)}{P(T)}$
A me sembra che $P(T|G)=0,64^3$ che $P(G)=m/n$ (probabilità che una pista a caso sia giusta) e che $P(T)=(1/n)^2$, probabilità che scegliendo tre piste a caso su $n$ disponibili si scelga la stessa.
Sono sicuro che c'è qualcosa che non va però....
E' proprio tutto sbagliato?
Attento,P(T) è pari alla probabilità che TUTTI E TRE i cani fiutino LA STESSA pista.Detta p la probabilità che un singolo cane fiuti la pista giusta,nel caso di due piste possibili P(T) sarà p^3 (la probabilità che tutti e tre abbiano fiutato la pista giusta) + (1-p)^3 (la probabilità che tutti e tre abbiano fiutato la pista sbagliata).Per il resto,la formula mi pare corretta.
Questo è uno (non il solo) dei dubbi concettuali che ho: $P(T)$ è la probabilità che tre cani qualunque fiutino la stessa pista, quindi per $n$ piste è uguale alla probabilità di pescare tra $n$ palline in 3 pescate diverse sempre la stessa pallina (con reinserimento della pallina dopo ogni pescata ovviamente), o è la probabilità che tre cani addestrati fiutino la stessa pista? Bo... 
Calma e sangue freddo,ragioniamo insieme 
P(T) è la probabilità che i cani abbiano fiutato tutti la stessa pista,quindi a rigor di logica hai due possibilità:
A) i tre cani hanno fiutato la pista giusta
B) i tre cani hanno fiutato la pista sbagliata
P(T) è quindi la somma delle due eventualità disgiunte P(A) + P(B).
Ora,P(T|G) è la probabilità che i tre cani abbiano fiutato la stessa pista sapendo che hanno fiutato tutti e tre la pista giusta,e banalmente è pari a 1 (se i tre cani hanno fiutato tutti la pista giusta,è sicuro che hanno fiutato tutti e tre la stessa pista).
Infine,P(G) è la probabilità che i tre cani abbiano fiutato tutti e tre la pista giusta (nel nostro caso,0.64^3).
Ora,se sostituisci il tutto nella formula di Bayes ottieni
P(G|T) = (1*0.262144)/0.3088 = 0.85
Spero di averti aiutato almeno un pò a dipanare i dubbi
P(T) è la probabilità che i cani abbiano fiutato tutti la stessa pista,quindi a rigor di logica hai due possibilità:
A) i tre cani hanno fiutato la pista giusta
B) i tre cani hanno fiutato la pista sbagliata
P(T) è quindi la somma delle due eventualità disgiunte P(A) + P(B).
Ora,P(T|G) è la probabilità che i tre cani abbiano fiutato la stessa pista sapendo che hanno fiutato tutti e tre la pista giusta,e banalmente è pari a 1 (se i tre cani hanno fiutato tutti la pista giusta,è sicuro che hanno fiutato tutti e tre la stessa pista).
Infine,P(G) è la probabilità che i tre cani abbiano fiutato tutti e tre la pista giusta (nel nostro caso,0.64^3).
Ora,se sostituisci il tutto nella formula di Bayes ottieni
P(G|T) = (1*0.262144)/0.3088 = 0.85
Spero di averti aiutato almeno un pò a dipanare i dubbi
@ Albesa81
Il caso in cui ci sono 2 sole piste, una giusta e una sbagliata, è già stato risolto alcuni post fa e non credo ci siano dubbi che la soluzione sia circa 85% (smentitemi se sbaglio).
I dubbi riguardano il caso in cui ci sono $n$ piste di cui $m$ giuste.
@ Faussone
Ti confesso che anch'io ho alcuni dubbi concettuali.
In particolare non comprendo esattamente cosa significhi
Nel caso le piste siano 2, lo interpreterei in questo modo: un cane, posto per 100 volte davanti a due piste (di cui una sola giusta), in 64 casi individua la pista giusta.
Ma nel caso ci siano $n$ piste totali di cui $m$ sono giuste, come devo interpretare il significato della probabilità del $64%$ ?
Diciamo ad esempio $m=99$ e $n=100$, allora il cane posto per 100 volte davanti a tali cento piste (di cui una sola sbagliata), individua una pista giusta (una qualsiasi?) in 64 casi e in 36 casi riesce ad individuare quell'unica pista sbagliata?
Direi che questo cane ha un pessimo fiuto!
Se avesse scelto a caso, avrebbe avuto una probabilità del 99% di indovinare la pista giusta..
Non so se è giusto intendere in tal modo la frase citata.. (ammesso che possa avere un senso.. )
Il caso in cui ci sono 2 sole piste, una giusta e una sbagliata, è già stato risolto alcuni post fa e non credo ci siano dubbi che la soluzione sia circa 85% (smentitemi se sbaglio).
I dubbi riguardano il caso in cui ci sono $n$ piste di cui $m$ giuste.
@ Faussone
Ti confesso che anch'io ho alcuni dubbi concettuali.
In particolare non comprendo esattamente cosa significhi
Un segugio addestrato ha il 64% di probabilità di fiutare la pista giusta
Nel caso le piste siano 2, lo interpreterei in questo modo: un cane, posto per 100 volte davanti a due piste (di cui una sola giusta), in 64 casi individua la pista giusta.
Ma nel caso ci siano $n$ piste totali di cui $m$ sono giuste, come devo interpretare il significato della probabilità del $64%$ ?
Diciamo ad esempio $m=99$ e $n=100$, allora il cane posto per 100 volte davanti a tali cento piste (di cui una sola sbagliata), individua una pista giusta (una qualsiasi?) in 64 casi e in 36 casi riesce ad individuare quell'unica pista sbagliata?
Direi che questo cane ha un pessimo fiuto!
Se avesse scelto a caso, avrebbe avuto una probabilità del 99% di indovinare la pista giusta..
Non so se è giusto intendere in tal modo la frase citata.. (ammesso che possa avere un senso.. )
@cenzo: nel caso di n piste di cui m giuste (e in assenza di ulteriori informazioni fornite dal problema) credo che quelle percentuali perderebbero di senso,in quanto riferite a una distribuzione di probabilità con due soli elementi.
In questo caso,una richiesta più sensata sarebbe quella di calcolare la probabilità che i tre cani abbiano scelto tutti quanti una pista giusta sapendo che hanno scelto tutti quanti una pista giusta o tutti quanti una pista sbagliata.
Tuttavia,il calcolo delle varie probabilità si complicherebbe molto: supposte n piste totali (equiprobabili o peggio non) di cui m giuste,P(G) e P(T) dovrebbero infatti tenere conto di tutte le possibili combinazioni di 3 elementi in m e 3 elementi in n - m e non credo se ne uscirebbe facilmente a meno di ricorrere al calcolo combinatorio.
In questo caso,una richiesta più sensata sarebbe quella di calcolare la probabilità che i tre cani abbiano scelto tutti quanti una pista giusta sapendo che hanno scelto tutti quanti una pista giusta o tutti quanti una pista sbagliata.
Tuttavia,il calcolo delle varie probabilità si complicherebbe molto: supposte n piste totali (equiprobabili o peggio non) di cui m giuste,P(G) e P(T) dovrebbero infatti tenere conto di tutte le possibili combinazioni di 3 elementi in m e 3 elementi in n - m e non credo se ne uscirebbe facilmente a meno di ricorrere al calcolo combinatorio.
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