Giochiamo con le connessioni di Galois :)

[salvozungri]

Siano dati due insiemi \(\left, \left\)
[tex]\alpha: Q\to P[/tex] e [tex]\beta: P\to Q[/tex] sono due funzioni per cui valgono le seguenti condizioni:
[tex]\forall p_1, p_2, p\in P\text{ e }\forall q_1, q_2, q\in Q[/tex]
1. [tex]p_1\le p_2\implies \beta(p_2)\le \beta(p_1)[/tex]
2. [tex]q_1\le q_2\implies \alpha(q_2)\le \alpha(q_1)[/tex]
3. [tex]q\le \beta(p)\iff p\le \alpha(q)[/tex]

Giocando con questa coppia di funzioni ho trovato alcune cosine curiose che volevo proporre alla comunità . Non vi spaventate, non sono difficili, anzi :
Dimostrare che, se valgono 1. 2. 3. , si ha:
4. [tex]\forall p\in P\quad p\le \alpha(\beta(p))[/tex]. 4'. Simmetricamente [tex]\forall q\in Q\quad q\le \beta(\alpha(q))[/tex]
5. [tex]\alpha\circ \beta\circ\alpha = \alpha[/tex]. 5' Simmetricamente [tex]\beta\circ\alpha\circ\beta=\beta[/tex]
6. [tex]\exists q\in Q[/tex] tale che [tex]p =\alpha(q)\iff p=\alpha(\beta(p))[/tex]
6' [tex]\exists p\in P[/tex] tale che [tex]q= \beta(p)\iff q= \beta(\alpha (q))[/tex]

Buon divertimento

[salvozungri]

Posto la soluzione del punto 4.

Sia [tex]p\in P[/tex], poniamo [tex]q= \beta(p)[/tex]. Adesso uso un trucchetto malefico :
[tex]q= \beta(p)\le \beta(p)[/tex] pertanto per la proprietà 3. implica che [tex]p\le\alpha(q)[/tex], ma [tex]q=\beta(p)[/tex] dunque: [tex]p\le\alpha(\beta(p))\qquad_{\square}[/tex]