Giocatore compulsivo

[axpgn]

Il sig.Carlo è una accanito giocatore: punta in continuazione un dollaro sul numero $13$ alla roulette, non ascoltando i consigli contrari del suon buon amico Franco.
Per "guarirlo" questi fa una scommessa: se il sig.Carlo sarà in perdita dopo $36$ puntate consecutive, darà $20$ dollari a Franco, altrimenti sarà quest'ultimo a dare $20$ dollari al sig.Carlo.
È una buona cura?

[La maggior parte delle roulette americane ha $38$ numeri, come in questo caso.
Se esce il numero che il giocatore ha puntato, viene pagato $35$ volte la posta oltre a ricevere indietro la posta puntata; se non esce, perde ciò che ha puntato]


Cordialmente, Alex

[mmdem]

Dovrebbe essere una buona cura se...

la probabilità che Carlo perda risultasse maggiore di 1/2. Carlo vince qualcosa dopo 36 turni se il 13 esce almeno 2 volte (quindi ricava almeno 70 \$ per 36 \$ puntati). Carlo perde se il 13 non esce mai (probabilità: $ (37/38)^{36} $) oppure se esce una sola volta (probabilità $36 \cdot (37 / 38)^{35} \cdot 1 /38 $ ). Di conseguenza, la probabilità totale che Carlo perda risulta $ 2 \cdot (37 / 38 )^{36} - 1 / 38^{36} = 0,7657... > 0,5 $ e Carlo ha più di tre possibilità su quattro per guarire presto...

[superpippone]

N.B. Ho dato un'interpretazione letterale......

Non mi sembra una buona cura!!! Carlo pagherà i 20 dollari solo se sarà in perdita, ovvero se il 13 non sortirà mai. $(37/38)^36=0,38287$ Mentre negli altri casi riceverà 20 dollari. Sia che sia in vincita, sia che sia in pareggio.

[axpgn]

@superpippone
La risposta alla domanda è giusta ma la dimostrazione non è completa (non è sufficiente, a mio parere; aspetterò ancora prima di dare la mia soluzione)

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

Avrebbe un EV positivo di circa 4,7$.
Quindi la "cura" rafforzerebbe il suo desiderio di giocare...e perdere nel lungo periodo

[axpgn]

@Bokonon
Il numero però non è quello

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex

E' corretta. Da problema il tipo gioca comunque anche sapendo valutare l'EV della roulette.
Quindi sono due eventi indipendenti...e la scommessa rafforza solo la sua ludopatia.

[axpgn]

@Bokonon

È vero che gli eventi sono indipendenti ma non scorrelati.
Se l'importo della scommessa fosse di $5$ dollari, non cambierebbe il "verso" della perdita pur mitigandola comunque mentre con $20$ dollari il sig.Carlo verrebbe addirittura invogliato a giocare, dato che finalmente inizierebbe a guadagnare giocando con la roulette (non a vincere con la roulette ).
Forse quello da curare è Franco ...

Ecco la mia …

Il sig.Carlo va in perdita solo se il $13$ non esce mai; se uscisse anche una sola volta, al minimo andrebbe in pari.
La probabilità di perdere una giocata è di $37/38$ e quindi quella di perderne $36$ di fila è $(37/38)^36=0.38287=38.29%$ come già ampiamente detto.
Il guadagno/perdita medio per una giocata è $35*1/38-1*37/38=-2/38$ e quindi per una serie di $36$ giocate è pari a $-2/38*36=-72/38=-1.89$ dollari.
Però la scommessa mediamente gli permetterebbe di guadagnare $20*0.6171-20*0.3829=4.68$ dollari.
Il saldo sarebbe quindi positivo
Ovviamente se il tredici non esce mai perderebbe $56$ dollari …

Cordialmente, Alex

EDIT:
@Bokonon

Non ho detto che non è corretto il tuo numero

[Bokonon]

@Alex

Finita la scommessa e in caso di vittoria continuerebbe a giocare. Sotto quest'ottica Carlo ha sempre un EV negativo.
Su una cosa concordo: il problema è Franco. Se tanto mi da tanto, non era stato in grado di spiegare a Carlo perchè non avesse senso giocare, dato che non sa calcolare un EV.
Franco avrebbe dovuto proporre un lancio di moneta, ovvero 26 giocate (uno che vuole aiutare non cerca un guadagno su un ludopatico) e lasciare che fosse la sorte a decidere.

[axpgn]

@Bokonon

Diciamo che il caso voleva essere più generale: la combinazione roulette+scommessa è vantaggiosa oppure no per il sig.Carlo (probabilisticamente parlando) in funzione dell'importo della scommessa; sotto una certa cifra è indifferente (cioè continua ad essere perdente), sopra è vantaggiosa (per il sig.Carlo ).

Cordialmente, Alex