Gino e Mario: the final bet!
Siamo arrivati al capitolo finale della saga di Gino e Mario, chi la spunterà?
Non è necessario aver risolto i primi due capitoli ma perchè non farlo?
Riassunto puntate precedenti:
Gino va a trovare Mario, il quale gli propone una scommessa.
Mario prende 100 bigliettini e li numera fra 1 e 100 e infine li mette, debitamente piegati, dentro una cesta.
Poi ne estrae due e li mette aperti sul tavolo e dice a Gino:"Se peschi un numero compreso nell'intervallo fra i miei due numeri, vinci la posta".
Gino ci pensa su e poi dice:"Non mi pare equo. Ti faccio una controproposta: tu peschi 4 bigliettini e li disponi aperti e in ordine crescente sul tavolo. Poi io pesco il mio e se il mio numero è compreso nell'intervallo fra il più piccolo e il più grande dei tuoi 4 numeri, allora vinco la posta"
Mario sa che la controposta di Gino è offensiva e che non troveranno mai un accordo. Quindi decide di cogliere la palla al balzo e di sfidare intellettualmente l'amico e dice:"Mi piace la tua proposta ma se non saprai rispondere alla mia domanda, allora giocheremo, ma a parti invertite, cento estrazioni giocandoci 10 euro a mano".
Gino fa un rapido calcolo e realizza che ci sono potenzialmente 200 euro in ballo...se fallisse. Ma il suo orgoglio prende il sopravvento e replica:"Spara"
Mario:"Dimmi la probabilità di vittoria in percentuale e arrotondata alla seconda cifra decimale se, dopo aver estratto i 4 bigliettini, reinserissi nella cesta i due numeri interni all'intervallo".
Gino realizza immediatamente che non potrà mai essere inferiore alla probabilità di vittoria con cui intendeva infinocchiare Mario...ma quant'è?
E in generale qual è la probabilità di vittoria che, data una cesta con N biglietti, se ne estragga uno che si trovi nell'intervallo fra il più grande e il più piccolo di X biglietti previamente estratti e di cui gli X-2 centrali sono stati reinseriti?
Non è necessario aver risolto i primi due capitoli ma perchè non farlo?
Riassunto puntate precedenti:
Gino va a trovare Mario, il quale gli propone una scommessa.
Mario prende 100 bigliettini e li numera fra 1 e 100 e infine li mette, debitamente piegati, dentro una cesta.
Poi ne estrae due e li mette aperti sul tavolo e dice a Gino:"Se peschi un numero compreso nell'intervallo fra i miei due numeri, vinci la posta".
Gino ci pensa su e poi dice:"Non mi pare equo. Ti faccio una controproposta: tu peschi 4 bigliettini e li disponi aperti e in ordine crescente sul tavolo. Poi io pesco il mio e se il mio numero è compreso nell'intervallo fra il più piccolo e il più grande dei tuoi 4 numeri, allora vinco la posta"
Mario sa che la controposta di Gino è offensiva e che non troveranno mai un accordo. Quindi decide di cogliere la palla al balzo e di sfidare intellettualmente l'amico e dice:"Mi piace la tua proposta ma se non saprai rispondere alla mia domanda, allora giocheremo, ma a parti invertite, cento estrazioni giocandoci 10 euro a mano".
Gino fa un rapido calcolo e realizza che ci sono potenzialmente 200 euro in ballo...se fallisse. Ma il suo orgoglio prende il sopravvento e replica:"Spara"
Mario:"Dimmi la probabilità di vittoria in percentuale e arrotondata alla seconda cifra decimale se, dopo aver estratto i 4 bigliettini, reinserissi nella cesta i due numeri interni all'intervallo".
Gino realizza immediatamente che non potrà mai essere inferiore alla probabilità di vittoria con cui intendeva infinocchiare Mario...ma quant'è?
E in generale qual è la probabilità di vittoria che, data una cesta con N biglietti, se ne estragga uno che si trovi nell'intervallo fra il più grande e il più piccolo di X biglietti previamente estratti e di cui gli X-2 centrali sono stati reinseriti?
Risposte
La sfida intellettuale è avvenuta davvero!
Circa 9 anni fa io e un fisico battagliammo a colpi di complicazioni. La variante del capitolo due della saga fu proposta da me, mentre questa variante fu proposta dal fisico...quindi sono due problemi sostanzialmente originali.
La variante di questo thread è obiettivamente difficile e ricordo che all'epoca nutrivo seri dubbi sul fatto che potesse essere risolta per tutte le casistiche...ma poi trovai la soluzione generale al caso X=3 (che era l'oggetto della contesa) e il passo successivo fu quasi immediato. Posso solo dirvi che, se non volete entrare nell'inferno di calcoli che feci, esiste una soluzione davvero semplice ed elegante...ma fu il fisico a trovarla
Circa 9 anni fa io e un fisico battagliammo a colpi di complicazioni. La variante del capitolo due della saga fu proposta da me, mentre questa variante fu proposta dal fisico...quindi sono due problemi sostanzialmente originali.
La variante di questo thread è obiettivamente difficile e ricordo che all'epoca nutrivo seri dubbi sul fatto che potesse essere risolta per tutte le casistiche...ma poi trovai la soluzione generale al caso X=3 (che era l'oggetto della contesa) e il passo successivo fu quasi immediato. Posso solo dirvi che, se non volete entrare nell'inferno di calcoli che feci, esiste una soluzione davvero semplice ed elegante...ma fu il fisico a trovarla
@Vincent46
Bravissimo Vincent!
Metterai anche la dimostrazione?
P.S. Se ti fossi chiamato Gino, avresti vinto circa 200 euro
Bravissimo Vincent!
Metterai anche la dimostrazione?
P.S. Se ti fossi chiamato Gino, avresti vinto circa 200 euro
"Bokonon":
@Vincent46
Bravissimo Vincent!
Metterai anche la dimostrazione?
Volentieri!
"Bokonon":
P.S. Se ti fossi chiamato Gino, avresti vinto circa 200 euro
E poi dicono che la matematica non rende
@Vincent46 Impeccabile! Talmente rigorosa formale ed elegante (perchè notare il P(V|N) è il punto...assieme al P(V|R)) che la lascio così...a meno che tu non mi dia l'autorizzazione per darne una versione "per mortali" come ho fatto finora.
Certo che sì. È sempre bello leggere altre prospettive!
"Vincent46":
Certo che sì. È sempre bello leggere altre prospettive!
Penso che lo farò ma non subito.
Nel frattempo ho corretto P(N) in P(V|N) perchè intendevo quello!
Il piacere del problema è appunto vedere l'"escalation" e la relazione fra la probabilità del capitolo precedente (indipendente da N) con questa (dipendente da N).
Di la verità, non ti ha dato "piacere"?
Sì, è vero. Ha senso, perché al crescere di N (e tenendo X fisso) i reinserimenti diventano sempre meno rilevanti rispetto al totale dei biglietti. Problemino molto bello!
La soluzione terra terra...
Molto bella!
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