Geometria

[giannirecanati]

Non so' se è un problema da mettere in giochi matematici e comunque non ne posseggo una soluzione.

Dato un quadrato ABCD si prendano due punti E e F, rispettivamente su BC e sul prolungamento di CD, in modo che A,E e F siano allineati. Detto G il punto medio di BE, si dimostri che:
1)la retta FG è tangente alla circonferenza inscritta in ABCD;
2)FG e DE si incontrano in un punto che giace sulla circonferenza circoscritta ad ABCD.

[Xato]

"giannirecanati":Non so' se è un problema da mettere in giochi matematici e comunque non ne posseggo una soluzione.

Dato un quadrato ABCD si prendano due punti E e F, .

Una delle vie possibili per dimostrare il primo

Per il quesito 1:
se si riesce a dimostrare che la distanza tra il centro del quadrato e la retta FG è pari alla meta del lato del quadrato abbiamo dismotrato l'assunto.
Indico con X la distanza BE

Fissato un sistema di assi con origine in A, asse delle ascisse secondo AB ed asse delle ordinate secondo AD, le coordinate dei punti sono:
G(L;X/2)
E(L;X)
F(L^2/x; L)

Le coordinate del centro del quadrato, che indico con Q, sono
Q(L/2; L/2)


Calcolo la distanza del punto Q dalla retta passante per i due punti G ed F.
Ho svolto i calcoli ed ottenuto L/2

Ma L/2 è il raggio del cerchio inscritto al quadrato, pertanto se ne deduce che la retta GF è tangente al cerchio indipendentemente dal valore di x.

Ritengo possa applicarsi lo stesso metodo (determinazione delle coordinate del punto di intersezione tra la retta DE e la retta FG e distanza tra centro del cerchio e punto di intersezione) per dimostrare anche il secondo.

[giannirecanati]

Mi sembra corretto. Bravo!
Qualcuno vuole provarci con la geometria sintetica e non analitica (dato che toglie qualcosa al problema)?

[Xato]

"giannirecanati":Mi sembra corretto. Bravo! :D
Qualcuno vuole provarci con la geometria sintetica e non analitica (dato che toglie qualcosa al problema)?

ho provato anche con la trigonometria ma mi è venuta l'emicrania al coseno.