Geometria

[giuseppe87x]

Trovare il luogo del terzo vertice di un triangolo, dati due vertici e la lunghezza di una mediana. Discutere i vari casi.

Supponiamo che i vertici dati siano $A$ e $B$.
Se la mediana data è quella relativa al lato $AB$ il luogo cercato è ovviamente un cerchio privato di due punti diametralmente opposti.
Ma se la mediana data non fosse quella relativa al lato $AB$ che si potrebbe dire a tal propsito?

[Celine2]

Non ne sono molto sicuro, dovrei controllare i passaggi, di primo acchitto mi ritrovo una circonferenza di centro $(-x_0, 0)$, $raggio =2l$

con punto $A=(0,0)$
$B=(x_0,0)$
$C=(x,y)$
$l=$ mediana con origine in $A$

vista l'ora, per fame, potrei avere avuto una clamorosa svista....

[Sk_Anonymous]

Supponiamo che la mediana nota $m_b$ sia quella relativa al lato AC di cui sia
M il punto medio.Supposto costruito il triangolo ABC,da C si conduca la
parallela ad MB che intersechi la retta AB in O.
Per Talete e per la similitudine dei triangoli AOC e ABM si ricava che:
$AB=BO$ e dunque $AO=2*AB=2c$.Pertanto O e' un punto fisso della retta AB.
$AC=2*AM$ e dunque $CO=2*BM=2*m_b="$ costante .Pertanto il vertice C,al variare
della posizione di BM,descrive la circonferenza fissa di centro O e raggio $2*m_b$
( o una sua parte,bisogna discutere)
karl

[Celine2]

Karl, se non sbaglio siamo giunti alla stessa conclusione...

[Sk_Anonymous]

Si,concettualmente le due soluzioni sono uguali.
Ho risposto pure io perche' mi pareva che Giuseppe87x
chiedesse anche una soluzione sintetica.
Ciao.
karl

[Celine2]

[giuseppe87x]

Benissimo ragazzi! Ottime soluzioni!

[giuseppe87x]

Si considerino due quadrati (O,M,N,P) e (O,S,R,T), l’uno esterno all’altro
aventi in comune solo il vertice O. Dimostrare che la mediana per O del
triangolo (O,P,S) è perpendicolare alla retta passante per T ed M.
N.B. I vertici dei tre poligoni considerati sono elencati in senso orario.

L'ho risolto semplicemente con la geometria analitica; se qualcuno volesse proporre
una soluzione euclidea è benvenuto.

[Sk_Anonymous]

Poniamo:
OP=L,OT=l, angolo(POS)=a,angolo(MOT)=180°-a
OH=mediana di PS, OK=mediana di MT,F=intersezione di OH con MT.
Per Carnot ricavo che:
$PS=sqrt(L^2+l^2-2*L*l*cos(a)$
$MT=sqrt(L^2+l^2+2*L*l*cos(a)$
Per una nota formula della mediana ricavo che:
$OH=1/2sqrt(2(L^2+l^2)-bar(PS)^2)=1/2sqrt(L^2+l^2+2*L*i*cos(a))$
Dunque :
$OH=(MT)/2=MK$
Analogamente:
$OK=1/2sqrt(2(L^2+l^2)-bar(MT)^2)=1/2sqrt(L^2+l^2-2*L*i*cos(a))$
Dunque :
$OK=(PS)/2=PH$
Pertanto i triangoli OPH e OKM sono congruenti per avere i tre lati congruenti.
Ne segue che :angolo(POH)=angolo(OMK)
Allora:
angolo(POH)+angolo(MOF)=90°
Cioe':
angolo(OMK)+angolo(MOF)=90°
E dunque : angolo(MFO)=90°
c.v.d.
karl

[Thomas16]

quanti ricordi... a suo tempo (l'anno scorso) lo risolsi anch'io... ricordo anche più o meno come lo feci (in realtà speravo di ricordarmelo peggio e cercavo un esercizio estivo che mi piacesse da risolvere, invece...)... mi riferisco al disegno di karl.

- innanzitutto inverto per comodità la tesi così: se disegno la perpendicolare ad MT passante per O si dimezza PS. Per l'unicità della mediana non cambia nulla.

Ora ruota il triangolo OMF attorno ad O fino a che M non coincide con P ottenendo il triangolo OPU', e ruota il triangolo OFT attorno ad O fino a che T non coincide con S ottenendo OSU'' (in realtà a suo tempo tracciai delle parallele a caso ma il risultato è quello ).

Si dimostra by angle-chasing che U'OU'' sono allineati su una retta parallela ad MT.

Ora si considera il trapezio PSU'U''. Per le ipotesi OF è perpendicolare ad U'U'' ed OF biseca U'U'' in quanto OU'=OU''=OF. quindi per Talete PH=HS...

[giuseppe87x]

Bene, vi ringrazio ragazzi come sempre del vostro aiuto