Generatori
Posto questo problema che è sorto nel post "UNIVERSITà\Deliri matematici", ma che è più adatto
a "GIOCHI LOGICO-MATEMATICI E GARA"
La funzione $l_a(n)$, con $a$ intero dispari, è uguale a 1 se $2n$ divide $a^n-1$, altrimenti è uguale a 0.
è stato dimostrato che se $l_a(k)=1$ e $l_a(h)=1$ allora $l_a(kh)=1$.
Si definisce "generatore" di $a$ un intero $g$ tale che $l_a(g)=1$ e che non esistano due interi $j>1$ e $w>1$ tali
che $g=jw$ e $l_a(j)=1$ e $l_a(w)=1$.
Da ciò segue che ogni intero $b$ tale che $l_a(b)=1$ è un generatore di $a$ oppure il prodotto di più genetatori
di $a$.
Il problema è il seguente dato $a$, l'insieme dei generatori di $a$ è infinito?
a "GIOCHI LOGICO-MATEMATICI E GARA"
La funzione $l_a(n)$, con $a$ intero dispari, è uguale a 1 se $2n$ divide $a^n-1$, altrimenti è uguale a 0.
è stato dimostrato che se $l_a(k)=1$ e $l_a(h)=1$ allora $l_a(kh)=1$.
Si definisce "generatore" di $a$ un intero $g$ tale che $l_a(g)=1$ e che non esistano due interi $j>1$ e $w>1$ tali
che $g=jw$ e $l_a(j)=1$ e $l_a(w)=1$.
Da ciò segue che ogni intero $b$ tale che $l_a(b)=1$ è un generatore di $a$ oppure il prodotto di più genetatori
di $a$.
Il problema è il seguente dato $a$, l'insieme dei generatori di $a$ è infinito?
Risposte
"carlo23":
Posto questo problema che è sorto nel post "UNIVERSITà\Deliri matematici", ma che è più adatto
a "GIOCHI LOGICO-MATEMATICI E GARA"
La funzione $l_a(n)$, con $a$ intero dispari, è uguale a 1 se $2n$ divide $a^n-1$, altrimenti è uguale a 0.
è stato dimostrato che se $l_a(k)=1$ e $l_a(h)=1$ allora $l_a(kh)=1$.
Si definisce "generatore" di $a$ un intero $g$ tale che $l_a(g)=1$ e che non esistano due interi $j>1$ e $w>1$ tali
che $g=jw$ e $l_a(j)=1$ e $l_a(w)=1$.
Da ciò segue che ogni intero $b$ tale che $l_a(b)=1$ è un generatore di $a$ oppure il prodotto di più genetatori
di $a$.
Il problema è il seguente dato $a$, l'insieme dei generatori di $a$ è infinito?
Ricordo un risultato classico che può aiutare.Per $p$ primo:
$MCD({x^p-1}/{x-1},x-1)=1 or p$ inoltre se $p|x-1$ allora $p|{x^p-1}/{x-1} wedge not(p^2 |{x^p-1}/{x-1})$
da questo si dovrebbe poter ricavare qualcosa ci penso su...
Saluti
Mistral
Il numero di generatori primi è finito, infatti per il piccolo teorema di Fermat si ha che $p|(a-1)iffp|(a^p-1)$. Quindi i generatori primi per il teorema che ho enunciato nel precedente post sono esattamente i divisori primi di $a-1$.
Più in generale si dimostra che:
$MCD({a^n-1}/{a-1},a-1)=MCD(n,a-1)$
quindi se $MCD(n,a-1)=1$ e $n|a^n-1$ allora $n|{a^n-1}/{a-1}$.
Segue che l'esistenza di infiniti generatori richiederebbe l'esistenza di infinti interi $n$ coprimi con $a-1$ per cui $n|{a^n-1}/{a-1}$. Non so ancora valutare se dimostrare l'impossbilità di questo fatto è banale o meno. Sicuramente non esistono primi che la possono soddisfare.
Buon Natale
Mistral
Più in generale si dimostra che:
$MCD({a^n-1}/{a-1},a-1)=MCD(n,a-1)$
quindi se $MCD(n,a-1)=1$ e $n|a^n-1$ allora $n|{a^n-1}/{a-1}$.
Segue che l'esistenza di infiniti generatori richiederebbe l'esistenza di infinti interi $n$ coprimi con $a-1$ per cui $n|{a^n-1}/{a-1}$. Non so ancora valutare se dimostrare l'impossbilità di questo fatto è banale o meno. Sicuramente non esistono primi che la possono soddisfare.
Buon Natale
Mistral
Grazie Mistral, vedo che te ne intendi.
Sono contento che questo problema non sia stato lasciato sprofondare nell'abisso dei post senza risposta...
Ciao, ciao!
Sono contento che questo problema non sia stato lasciato sprofondare nell'abisso dei post senza risposta...
Ciao, ciao!
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