Gabbiani
Due gabbiani bianchi e otto gabbiani grigi volano su un fiume.
All'improvviso atterrano su una delle sponde del fiume, disponendosi in linea retta in ordine casuale. Qual è la probabilità che i due gabbiani bianchi si trovino uno accanto all'altro?
All'improvviso atterrano su una delle sponde del fiume, disponendosi in linea retta in ordine casuale. Qual è la probabilità che i due gabbiani bianchi si trovino uno accanto all'altro?
Risposte
Se atterrano in linea retta uno avanti all'altro la $p = 0$.
Se non c'e' trucco e non c'e' inganno credo che sia cosi':
Il numero di combinazioni totali e' $10!$
Ogni volta che i due gabbiani bianchi sono vicini le combinazioni dei gabbiani grigi e' $8!$ mentre quella dei bianchi e $2!$, per $9$ combinazioni:
c.1) gabbiani bianchi primo e secondo posto
c.2) gabbiani bianchi secondo e terzo posto
...
c.9) gabbiani bianchi nono e decimo posto
$p = (9 * 2! * 8!) / (10!)$
quindi
$p = 1 / 5$
Eugenio
Se non c'e' trucco e non c'e' inganno credo che sia cosi':
Il numero di combinazioni totali e' $10!$
Ogni volta che i due gabbiani bianchi sono vicini le combinazioni dei gabbiani grigi e' $8!$ mentre quella dei bianchi e $2!$, per $9$ combinazioni:
c.1) gabbiani bianchi primo e secondo posto
c.2) gabbiani bianchi secondo e terzo posto
...
c.9) gabbiani bianchi nono e decimo posto
$p = (9 * 2! * 8!) / (10!)$
quindi
$p = 1 / 5$
Eugenio
tutto giustissimo, senza nulla togliere alla tua risoluzione, c'è bisogno di scomodare le combinazioni? c'è un metodo che risolve il problema in un nanosecondo, su! 
Sono curioso di imparare un metodo immediato per questa risoluzione.
Purtroppo non m'intendo di statistica, non conosco formule e mi viene solo da pensare a probabilità = combinazioni vere / combinazioni totali.
combinazioni vere = (y+1) * x! * y! e combinazioni totali = (x + y)!
x e' il numero di gabbiani bianchi e y il numero di quelli grigi.
Eugenio
Purtroppo non m'intendo di statistica, non conosco formule e mi viene solo da pensare a probabilità = combinazioni vere / combinazioni totali.
combinazioni vere = (y+1) * x! * y! e combinazioni totali = (x + y)!
x e' il numero di gabbiani bianchi e y il numero di quelli grigi.
Eugenio
Secondo me la risoluzione del problema non si trova con le combinazioni , ma con le permutazioni, per cui la probabilità richiesta è
p = 1/10!
EugenioD
p = 1/10!
EugenioD
Mi correggo sulla probabilità calcolata, che si riferisce ad un solo caso (1°-2°) da me erroneamnete considerato. Invece i caso favorevoli totali sono con i gabbiano bianchi non solo a 1°-2° posto, ma in un qualsiasi accoppiamento, sono 9 per cui p è
p =9/10! = 1/(1*2*3*4*5*6*7*8*10).
Spiegando il ragionamento i casi favorevoli sonp, se i gabbiani bianchi sono B:
BB12345678;
1BB2345678;
12BB345678
ecc....
mentre i casi possibili sono le permutazioni di tutti e 10 i gabbiani.
EugenioD
p =9/10! = 1/(1*2*3*4*5*6*7*8*10).
Spiegando il ragionamento i casi favorevoli sonp, se i gabbiani bianchi sono B:
BB12345678;
1BB2345678;
12BB345678
ecc....
mentre i casi possibili sono le permutazioni di tutti e 10 i gabbiani.
EugenioD
Mi correggo sulle mie risoluzioni che non sono esatte, allora quella richiesta è
p = Fv/Fp = 18/10!
cioè i casi favorevoli sono
B1B2G1G2...;
B2B1G1G2G3....;
G1B1B2G2G3G4...
G1B2B1G2G3....
ecc...
che sono, se non ho sbagliato 18.
La probabilità che i due bianci siano ai primi due posti, cioè in capofila è
p = 2/10!;
cioè i casi favorevoli sono due e cioè.
B1B2G1G2G3G4G5G6G7G8
B2B1G1G2G3....
Comunque questa non è una prova di intelligenza ma una prova di preparazione della probabilità di un evento aleatorio.
EugenioD
p = Fv/Fp = 18/10!
cioè i casi favorevoli sono
B1B2G1G2...;
B2B1G1G2G3....;
G1B1B2G2G3G4...
G1B2B1G2G3....
ecc...
che sono, se non ho sbagliato 18.
La probabilità che i due bianci siano ai primi due posti, cioè in capofila è
p = 2/10!;
cioè i casi favorevoli sono due e cioè.
B1B2G1G2G3G4G5G6G7G8
B2B1G1G2G3....
Comunque questa non è una prova di intelligenza ma una prova di preparazione della probabilità di un evento aleatorio.
EugenioD
Perdonami EugenioD,
non sono in accordo con te sul numero dei casi favorevoli.
Non e' per contraddirti, probabilmente la mia poca preparazione mi induce in errore.
Segui il mio ragionamento:
Associamo una lettera ad ogni gabbiano:
A, B, C, D, E, G, H, I, L, M.
Consideraimo bianchi i gabbiani contrassegnati con le lettere A e B,
in tutti i casi possibili quante sono le possibilita' che A e B siano vicini ?
Consideriamo A in prima posizione e B in seconda
A, B, _, _, _, _, _, _, _, _. Ci sono $8!$ casi in cui A e B rimangono in
questa posizione.
Essendo 18 le posizioni in cui e' possibile collocare A e B vicini,
i casi favorevoli in totale sono $18 * 8!$.
Ti trovi con me ?
A presto,
Eugenio
non sono in accordo con te sul numero dei casi favorevoli.
Non e' per contraddirti, probabilmente la mia poca preparazione mi induce in errore.
Segui il mio ragionamento:
Associamo una lettera ad ogni gabbiano:
A, B, C, D, E, G, H, I, L, M.
Consideraimo bianchi i gabbiani contrassegnati con le lettere A e B,
in tutti i casi possibili quante sono le possibilita' che A e B siano vicini ?
Consideriamo A in prima posizione e B in seconda
A, B, _, _, _, _, _, _, _, _. Ci sono $8!$ casi in cui A e B rimangono in
questa posizione.
Essendo 18 le posizioni in cui e' possibile collocare A e B vicini,
i casi favorevoli in totale sono $18 * 8!$.
Ti trovi con me ?
A presto,
Eugenio
"GuillaumedeL'Hopital":
:-D
Io lo farei così, usando la probabilità condizionata:
Il primo gabbiano bianco sceglie a caso la sua posizione (1 caso favorevole su 10 equiprobabili)
Il secondo che vuole mettersi vicino al primo ha le seguenti alternative:
1) se il primo gabbiano è in posizione 1 o 10 il secondo ha una sola posizione utile su 9 ($1/9$)
2) se il primo ha scelto una delle 8 posizioni non estreme il secondo ha 2 posizioni possibili su 9
La probabilità totale è quindi:
$P=1/10(1/9+1/9+8*2/9)=1/5$
Devo però riconoscere che anche solo il calcolo delle frazioni mi ha richiesto più di un nanosecondo!
Chi sa quale metodo sagace ha in mente L'Hopital? Forse qualche rapporto di infinitesimi?
ciao
Rispondo ad EugenioA
Non sono d'accordo con te io, perchè ogni caso favorevole è ogni permutazione dei 10 gabbiani in cui i due gabbiani bianchi sono vicini, però bisogna distinguere anche ogni gabbiano con B1 e B2, per cui la sequenza _ _ _B1B2_ _ _ _ _, è diversa dalla
sequenza _ _ _B2B1_ _ _ _ _.
Ricorda che tutti e 10 i gabbiani debbono stare in fila e tutte le loro disposizioni formano i casi totali o possibili, pr cui è le permutazioni,Pn, di n elementi,cioè il loro diverso ordine (pensa ad una gara in cui ogni partecipante all'arrivo partecipa alla classifica) sonodate da
Pn = Dn,n = 1*2+3 +n = n!
Questi sono i casi possibili o totali.
EugenioD
Non sono d'accordo con te io, perchè ogni caso favorevole è ogni permutazione dei 10 gabbiani in cui i due gabbiani bianchi sono vicini, però bisogna distinguere anche ogni gabbiano con B1 e B2, per cui la sequenza _ _ _B1B2_ _ _ _ _, è diversa dalla
sequenza _ _ _B2B1_ _ _ _ _.
Ricorda che tutti e 10 i gabbiani debbono stare in fila e tutte le loro disposizioni formano i casi totali o possibili, pr cui è le permutazioni,Pn, di n elementi,cioè il loro diverso ordine (pensa ad una gara in cui ogni partecipante all'arrivo partecipa alla classifica) sonodate da
Pn = Dn,n = 1*2+3 +n = n!
Questi sono i casi possibili o totali.
EugenioD
la formula finale è sbagliata nel segno e bisogna sostituire così
pn = Dn,n = 1*2*3* *n = n!
pn = Dn,n = 1*2*3* *n = n!
il risultato giusto è $1/5$, ma c'è un procedimento ancora più semplice! chi lo trova? voglio aspettare ancora un pò prima di darvi la soluzione. la sua semplicità è direttamente proporzionale alla difficoltà cui ci si arriva
Proviamo così:
i due gabbiani bianchi arrivano insieme (per primi), se si vogliono mettere vicini hanno 9 posizioni, per ognuna di esse (potendosi invertire) due possibilità, se si mettono a caso le possibilità sono 10 per il primo e 9 per il secondo, da cui:
$P={9*2}/(10*9}=1/5$
ho cronometrato, sempre più di un nanosecondo
!
i due gabbiani bianchi arrivano insieme (per primi), se si vogliono mettere vicini hanno 9 posizioni, per ognuna di esse (potendosi invertire) due possibilità, se si mettono a caso le possibilità sono 10 per il primo e 9 per il secondo, da cui:
$P={9*2}/(10*9}=1/5$
ho cronometrato, sempre più di un nanosecondo
!
x GuillaumedeL'Hopital
Se il numero di gabbiani bianchi e' sempre pari a 2, basta fare $p = 2/T$ dove T e' il numero totale dei gabbiani (grigi + 2 bianchi). Forse impiego troppo tempo ? Hehehe
Sarei curioso di conoscere la vera soluzione!
Ciao,
Eugenio
---------------
x EugenioD
Vediamo se ho capito bene:
I casi totali sono $10!$ e fin qua' ci siamo entrambi.
I casi favorevoli per te sono $18$ mentre per me sono $9 * 2! * 8!$ ossia $18 * 8!$,
e' solo questo il punto dove siamo in disaccordo, giusto ?
Provo ad esprimere la mia:
Considerando uno dei 18 casi da te citati, per esempio:
B1, B2, _, _, _, _, _, _, _, _ quante disposizioni ci sono per i gabbiani G1, G2, ..., G8 ? Se queste sono $8!$, i casi favorevoli non sono $18 * 8!$ ?
Purtroppo, non sono in grado di valutare i nostri due concetti.
Ho esposto solo cio' che mi sembrava piu' logico.
Se sono in errore ti prego di aiutarmi a comprenderlo.
A presto,
EugenioA
Se il numero di gabbiani bianchi e' sempre pari a 2, basta fare $p = 2/T$ dove T e' il numero totale dei gabbiani (grigi + 2 bianchi). Forse impiego troppo tempo ? Hehehe
Sarei curioso di conoscere la vera soluzione!
Ciao,
Eugenio
---------------
x EugenioD
Vediamo se ho capito bene:
I casi totali sono $10!$ e fin qua' ci siamo entrambi.
I casi favorevoli per te sono $18$ mentre per me sono $9 * 2! * 8!$ ossia $18 * 8!$,
e' solo questo il punto dove siamo in disaccordo, giusto ?
Provo ad esprimere la mia:
Considerando uno dei 18 casi da te citati, per esempio:
B1, B2, _, _, _, _, _, _, _, _ quante disposizioni ci sono per i gabbiani G1, G2, ..., G8 ? Se queste sono $8!$, i casi favorevoli non sono $18 * 8!$ ?
Purtroppo, non sono in grado di valutare i nostri due concetti.
Ho esposto solo cio' che mi sembrava piu' logico.
Se sono in errore ti prego di aiutarmi a comprenderlo.
A presto,
EugenioA
Rispondo ad EugenioA
Io ho insegnato matematica finanziaria, ma ora sono in pensione da quasi 7 anni e non facevo calcolo della probabilità da una 15^ di anni, quindi, anche se prima eromolto bravo, adesso mi manca un poco di esercitazione ma i concetti probabilistici (definizione, proprietà e teoremi) sono sempre quelli.
Devo convenire con te che hai ragione, cioè la p è
p = (2*9*8! )/10! = (2*9 *8!)/ 8!*9*10 = 2/10 = 1/5.
Spieghiamo però meglio:
Ad ogni coppia di gabbiani vicini, corrispondono le permutazioni dei (10-2)! = 8!, quindi ad ognuna di essa corrispondono 2*8! permutazioni;
Siccome, e sono ancora d'accordo con te, le coppie possibili di gabbiani vicini sono 9, in totale tutti i casi favorevoli sono 2*9*8!.
Sei stato molto bravo.
EugenioD
Io ho insegnato matematica finanziaria, ma ora sono in pensione da quasi 7 anni e non facevo calcolo della probabilità da una 15^ di anni, quindi, anche se prima eromolto bravo, adesso mi manca un poco di esercitazione ma i concetti probabilistici (definizione, proprietà e teoremi) sono sempre quelli.
Devo convenire con te che hai ragione, cioè la p è
p = (2*9*8! )/10! = (2*9 *8!)/ 8!*9*10 = 2/10 = 1/5.
Spieghiamo però meglio:
Ad ogni coppia di gabbiani vicini, corrispondono le permutazioni dei (10-2)! = 8!, quindi ad ognuna di essa corrispondono 2*8! permutazioni;
Siccome, e sono ancora d'accordo con te, le coppie possibili di gabbiani vicini sono 9, in totale tutti i casi favorevoli sono 2*9*8!.
Sei stato molto bravo.
EugenioD
Un'altra risoluzione più semplice che conferma il risultato ottenuto.
Non so che scuola (oppure Unversitario?) fai, ma la probabilità di un evento aleatorio si può applicare anche con uno dei tre principi della probabilità:
1° della P totale di eventi incompatibili;
2° della p composta di enti dipendenti;
3° della p totale di eventi composti dipendenti e tra loro incompatibili.
e tre loro incompatibili
Ora la probabilità che si verifichi l'accoppiamento di due gabbiani in qualsiasi posizione è
2/10 * 1/9;
siccome ogni coppia è incompatibile con gli altri casi cioè 9, bisogna fare la somma 9 volte della probabilita precednete, per cui la p è
p = 2/10* 1/9 *9 = 1/5
Ciao
Eugenio
Non so che scuola (oppure Unversitario?) fai, ma la probabilità di un evento aleatorio si può applicare anche con uno dei tre principi della probabilità:
1° della P totale di eventi incompatibili;
2° della p composta di enti dipendenti;
3° della p totale di eventi composti dipendenti e tra loro incompatibili.
e tre loro incompatibili
Ora la probabilità che si verifichi l'accoppiamento di due gabbiani in qualsiasi posizione è
2/10 * 1/9;
siccome ogni coppia è incompatibile con gli altri casi cioè 9, bisogna fare la somma 9 volte della probabilita precednete, per cui la p è
p = 2/10* 1/9 *9 = 1/5
Ciao
Eugenio
Non so che è successo, perchè mi è scomparso il messaggio, spero che vi sia arrivato
Eugenio
Eugenio
Grazie EugenioD,
sapevo di non parlare con una persona qualunque.
Anche dagli articoli si evince un certo spessore.
A presto,
EugenioA
sapevo di non parlare con una persona qualunque.
Anche dagli articoli si evince un certo spessore.
A presto,
EugenioA
Vorrei proporvi questo problema.
Se i 10 gabbiani si alzano in volo 20 volte e poi atterrano, e noi contiamo quante volte i bianchi sono accoppiati, quante volte, probabilisticamente, saranno accoppiati su 20 volte.
Mi raccomando che la probabilità dà una VALUTAZIONE MATEMaTICA o teorica di un evento ma in pratica, essendo eventi aleatori cioè casuali, in pratica per estrema fortuna possono capitare tutti e venti e per estrema sfortuna nessuno.
Però probabilisticamente, spesso, capita quello prevedibile.
EugenioD
Se i 10 gabbiani si alzano in volo 20 volte e poi atterrano, e noi contiamo quante volte i bianchi sono accoppiati, quante volte, probabilisticamente, saranno accoppiati su 20 volte.
Mi raccomando che la probabilità dà una VALUTAZIONE MATEMaTICA o teorica di un evento ma in pratica, essendo eventi aleatori cioè casuali, in pratica per estrema fortuna possono capitare tutti e venti e per estrema sfortuna nessuno.
Però probabilisticamente, spesso, capita quello prevedibile.
EugenioD
Ci provo.
Sappiamo che le probabilita' di un atteraggio in cui i gabbiani bianchi siano vicini e' $p = 1 / 5$, quindi significa che probabilisticamente $1$ atterraggio su $5$ rispetta la condizione di vicinanza.
Applicando la proporzione $1 : 5 = x : 20$ si ottiene che $x = 5 * 1 / 20 = 4$, dove $x = 4$ rappresenta il numero degli atterraggi favorevoli su $20$ totali.
Giusto ?
Eugenio
Sappiamo che le probabilita' di un atteraggio in cui i gabbiani bianchi siano vicini e' $p = 1 / 5$, quindi significa che probabilisticamente $1$ atterraggio su $5$ rispetta la condizione di vicinanza.
Applicando la proporzione $1 : 5 = x : 20$ si ottiene che $x = 5 * 1 / 20 = 4$, dove $x = 4$ rappresenta il numero degli atterraggi favorevoli su $20$ totali.
Giusto ?
Eugenio
"eugenio.amitrano":
x GuillaumedeL'Hopital
Se il numero di gabbiani bianchi e' sempre pari a 2, basta fare $p = 2/T$ dove T e' il numero totale dei gabbiani (grigi + 2 bianchi). Forse impiego troppo tempo ? Hehehe
Sarei curioso di conoscere la vera soluzione!
x eugenioA. si, è così: basta fare $2/10=1/5$, un ragionamento elementare intuitivo a cui ci si arriva con difficoltà, che evita di usare combinazioni o cose più complicate, a me ha colpito.
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