Funzione

[hos-juzamdjinn]

Sia $QQ$ l'insieme dei numeri razionali. Trovare tutte le funzioni $f$ da $QQ$ a $QQ$ che sodisfano le due seguenti condizioni:

1) $f(1)=2$

2) $f(xy)=f(x)f(y) - f(x+y) +1$

$AA x,y in QQ$

Esercizio tratto dal Larson

[Sk_Anonymous]

Osserviamo innanzitutto che, per ogni $x \in \mathbb{Q}$: $f(x*1) = f(x)*f(1) - f(x+1) + 1 = 2f(x) + 1 - f(x+1)$, i.e. $f(x+1) = f(x) + 1$, datosi che $f(1) = 2$, per via della 1). Dunque per induzione, fissato $x \in \mathbb{Q}$, risulta $f(x+n) = f(x)+n$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$. Ne segue $f(x) = x+1$, se $x \in \mathbb{Z}$. Più in generale, sia a questo punto $x \in \mathbb{Q}$. Esistono allora $m, n \in \mathbb{Z}$, con $n \neq 0$, tali che $x = m/n$, di modo che - in base alla 2) ed al precedente: $m+1 = f(m) = f(x*n) = f(x)*f(n) - f(x+n) + 1 = f(x)*(n+1) - f(x) - n = n*f(x) - n$, i.e. $f(x) = m/n + 1 = x+1$. Le conclusioni si scrivono da sé!

EDIT: corretto un typo (vedi oltre)!

[hos-juzamdjinn]

Bravissimo anche se penso tu volessi scrivere $f(x+n)=f(x) + n$

[Sk_Anonymous]

Essì, un typo! In quanto ai complimenti, uh... per mia fortuna non ci faccio più molto caso!