Funzionano le funzioni?
Vi propongo due problemini miei :
Data [tex]f(n + 1) = f(n) + n[/tex], valida per [tex]n > 1[/tex], tale che [tex]f(1) = 1[/tex], quanto vale [tex]f(113)[/tex]?
Data [tex]f(n+1) = f(n) \cdot n[/tex], tale che [tex]f(1) = 1[/tex], valida per [tex]n > 1[/tex]. Determinare per quale intero k, [tex]f(k) = 40320[/tex].
Data [tex]f(n + 1) = f(n) + n[/tex], valida per [tex]n > 1[/tex], tale che [tex]f(1) = 1[/tex], quanto vale [tex]f(113)[/tex]?
Data [tex]f(n+1) = f(n) \cdot n[/tex], tale che [tex]f(1) = 1[/tex], valida per [tex]n > 1[/tex]. Determinare per quale intero k, [tex]f(k) = 40320[/tex].
Risposte
le funzioni definite da $NN to RR$ si chiamano successioni lo sai?
comunque secondo me i risultati sono
comunque secondo me i risultati sono
"blackbishop13":
le funzioni definite da $NN to RR$ si chiamano successioni lo sai?
Ora lo so xD
comunque secondo me i risultati sono
si, giusti tutti e due
grazie ^^
se non avevi mai sentito parlare di successioni e in particolare delle due successioni
allora davvero complimenti per esserci arrivato da solo!
allora davvero complimenti per esserci arrivato da solo!
"blackbishop13":
se non avevi mai sentito parlare di successioni e in particolare delle due successioni
allora davvero complimenti per esserci arrivato da solo!
no, no, aspetta... a me mancava il punto "le funzioni definite da [tex]NN to RR[/tex] si chiamano successioni" per il resto ci sono
triangolari e fattoriali.. come farei senza !
più che altro devo ammettere di essere rimasto sorpreso risolvendo i problemini, vedendo cosa vien fuori (di solito quando invento un problema, lo faccio a scatola chiusa, prima lo invento e poi lo risolvo [e non è detto che sappia come farlo] a meno che non abbia bene in mente un preciso procedimento da voler far seguire a chi risolve il problema) !
Dato che le successioni richieste sono abbastanza prevedibili,propongo di condirle un po' con un quesito più
...corposetto (
) :
Determinare la soluzione generale (cioè trovare f(n) in funzione di n) dell'equazione :
$f(n+2)-3f(n+1)+2f(n)=1-2n $ con $n$ intero positivo e con le condizioni $f(1)=1,f(2)=6$
...corposetto (
) :Determinare la soluzione generale (cioè trovare f(n) in funzione di n) dell'equazione :
$f(n+2)-3f(n+1)+2f(n)=1-2n $ con $n$ intero positivo e con le condizioni $f(1)=1,f(2)=6$
Con la relazione data ho calcolato i primi valori:
[tex]1, \,6,\, 15,\, 30,\, 55, \,98, \,175,\, 318[/tex]
dai quali ho ricavato le successive differenze, fino
a incontrare i primi valori delle potenze di [tex]\,2[/tex]:
[tex]2,\, 4,\, 8,\, 16,\, 32[/tex].
A questo punto ho ipotizzato che quest'ultima
sequenza proseguisse e così ho determinato,
procedendo a ritroso, la formula generale dei
numeri iniziali, vale a dire:
[tex]n^2+2^n-2[/tex].
E finalmente ho verificato che si tratta proprio
dell'espressione cercata, visto che sostituendola
nella relazione di ziomauri oppure nella forma
equivalente:
[tex]f(n+1)-2\cdot f(n)=4-(n-1)^2[/tex]
si trova un'identità.
Dunque:
[tex]f(n)=n^2+2^n-2[/tex]
[tex]1, \,6,\, 15,\, 30,\, 55, \,98, \,175,\, 318[/tex]
dai quali ho ricavato le successive differenze, fino
a incontrare i primi valori delle potenze di [tex]\,2[/tex]:
[tex]2,\, 4,\, 8,\, 16,\, 32[/tex].
A questo punto ho ipotizzato che quest'ultima
sequenza proseguisse e così ho determinato,
procedendo a ritroso, la formula generale dei
numeri iniziali, vale a dire:
[tex]n^2+2^n-2[/tex].
E finalmente ho verificato che si tratta proprio
dell'espressione cercata, visto che sostituendola
nella relazione di ziomauri oppure nella forma
equivalente:
[tex]f(n+1)-2\cdot f(n)=4-(n-1)^2[/tex]
si trova un'identità.
Dunque:
[tex]f(n)=n^2+2^n-2[/tex]
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