Fattoriali easy

[xXStephXx]

\(\displaystyle n!+24 = k^2 \)

Si tratta di numeri interi positivi, quali sono le soluzioni?

[milizia96]

n=1, k=5

[xXStephXx]

E una piccola dimostrazione che non ce ne sono altri?

[j18eos]

@milizia96 non hai trovato tutte le soluzioni!

A rigore \(n=5;\,k=12\)!

[xXStephXx]

E' vero... infatti sapevo che c'erano due e manco ho letto quali c'erano scritte xD.. Vabbè comunque ci vuole la dimostrazione che non c'è ne sono altre xD

[milizia96]

Caspita, mi era sfuggito...
Comunque ecco come avevo ragionato:

Per ora considero $n>5$.
Scrivo $n! =2^a *b$
Sono sicuro che n! contiene più di tre fattori $2$, quindi so che $a>3$
$n!+24=2^a *b + 2^3 *3 = 2^3 (2^{a-3} *b +3)$
Quello che è scritto tra parentesi è sicuramente dispari, quindi $n!+24$ contiene esattamente tre fattori $2$, e non può essere un quadrato perfetto.
L'ultimo passo consiste nel controllare (svolgendo i calcoli) per n=1,2,3,4,5.
E si ricavano le soluzioni n=1 k=5; n=5 k=12.
E io mi ero dimenticato di controllare per 5

[xXStephXx]

Oki ora va tutto bene xD