Fare quadrato coi cubi

[axpgn]

Trovare il più piccolo quadrato perfetto che sia la somma di più di tre cubi consecutivi escludendo però $1^3$.

Cordialmente, Alex

[gpm63]

Ciao Alex,
se ho ben capito dovrebbe essere questo il più piccolo:

97344, cioè il quadrato di 312, che è la somma dei cubi di 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25.

Saluti
Melba

[dan952]

Idea:

Ricordando che $\sum_{i=0}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$ si potrebbe ragionare sulle soluzioni intere positive dell'equazione
$(\frac{n(n+1)}{2})^2-(\frac{m(m+1)}{2})^2=k^2$
Che poi sarebbe come ragionare su terne pitagoriche, ricordando che $n>m$ e $n-m>3$.

[axpgn]

@melba


@dan95
E poi?

[dan952]

...dunque
$m(m+1)=a^2+b^2$
$n(n+1)=a^2-b^2$
$k=ab$
Ora qui vado a tentativi sostituendo $m$ e $n$... Perché una forma generale per le soluzioni non l'ho trovata
Edit: a parte che devo trova'?! Le terne si conoscono, basta cercare una tabella su internet

[curie88]

Procedendo in modo analogo a dan95, ma indipendentemente:

Se $a$ è il primo termine di cui fare il cubo, la funzione somma dei gli $n$ cubi successivi ad $a$, compreso questo, è la seguente:

$S_{c}=n/4*(2a+n-1){2a^2+2a(n-1)+(n-1)n}$

in cui facendo le prove per $n>3$ e $a>1$ si ottiene che il valore su detto da melba corrisponde ad $a=14$ ed $n=12$

Questa soluzione però non mi soddisfa perché richiede un considerevole numero di tentativi...

Saluti.