Esponenze intere di phi e numeri interi

[fritjof]

Ciao a tutti, volevo porre la questione del perché le esponenze naturali del numero phi si avvicinano sempre più a numeri interi.
Sapreste spiegare perché

phi^2=2,618..
phi^3=4,236..
phi^4=6,854..
phi^5=11,090..
phi^6=17,944..
phi^7=29,034..
...
phi^40=141422324,00000018..

Cioè perché all'aumentare dell'esponente naturale, il risultato si avvicina sempre più ad un numero intero

Saluti fritjof

[Palliit]

Ciao. Ci provo:

Detti $F_n$ i numeri della successione di Fibonacci, vale:

(1) [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{F_{n+1}}{F_n}=\Phi[/tex]__, e inoltre:__(2) $Phi^n=F_n Phi + F_(n-1)$__$rightarrow$__$F_n Phi=Phi^n-F_(n-1)$;

pertanto dalla (1) e sostituendo la (2) si ha:

[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( F_{n+1}-\Phi F_{n} \right ) =0 \rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\left (F_{n+1}+F_{n-1}-\Phi^n \right )=0[/tex];

se la differenza tra $Phi^n$ e $F_(n+1)+F_(n-1)$ (che è un numero intero) tende a zero, allora la parte decimale di $Phi^n$ tende a $0$ (oppure a $1$). Può funzionare?
Per curiosità: $F_17=1597$, $F_15=610$, $F_17+F_15=2207$; mentre $Phi^16 \ approx 2206.999552$.

[fritjof]

Ottimo Palliit.
Ma questo succede soltanto con il numero phi?

[40rob]

In rete ho trovato questo http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_ ... yaraghavan.
Anche $1 + sqrt(2)$ dovrebbe soddisfare quella proprietà.