Esercizio sulle basi dell'analisi combinatoria
Buongiorno ragazzi, sto preparando Calcolo delle probabilità con il testo omonimo di Sheldon Ross. Sto cercando di risolvere nel particolare l'esercizio 30 del primo capitolo.
Testo
Il mio ragionamento
Per far sedere vicino la coppia italo-inglese si possono scegliere \(\displaystyle 18 \) modi differenti, questo perché le possibili posizioni sono \(\displaystyle 9 \) e le permutazioni della coppia \(\displaystyle 2! \): per il principio fondamentale del calcolo combinatorio \(\displaystyle 9 \times 2! = 18 \).
Poiché gli altri due delegati citati non possono sedere vicini deve esserci almeno un delegato di un altro paese tra i due. Indicando con il simbolo \(\displaystyle 2 \) la coppia di delgati italiano/inglese, con \(\displaystyle 1 \) uno o più delegati che non siano nei quattro citati e con il simbolo \(\displaystyle 0 \) un delegato tra francese o statunitense, si ha una situazione tipo \(\displaystyle 0\;2\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0 \): si deve quindi scegliere \(\displaystyle 2 \) posti tra i le \(\displaystyle 8 \) possibilità rappresentate dagli \(\displaystyle 0 \) presenti. Ciò si traduce nel coefficiente binomiale \(\displaystyle \binom{8}{2} = 28 \).
Infine i restanti 6 delegati possono permutare in \(\displaystyle 6! = 720 \) modi.
Per il principio fondamentale si conclude che le file possibili, considerando le condizioni iniziali, sono \(\displaystyle 18 \times 28 \times 720 = 362880 \).
Soluzione del testo
Dove sbaglio? Come andrebbe affrontato un problema del genere? Quali domande bisogna porsi per ottenere un procedimento corretto? Grazie in anticipo
Testo
I delegati di 10 paesi, tra i quali la Francia, l'Italia, la Gran Bretagna e gli USA, devono sedersi in fila. In quanti modi lo possono fare se si vuole che i delegati italiano ed inglese siedano vicini e che i delegati francese e statunitense non siedano accanto?
Il mio ragionamento
Per far sedere vicino la coppia italo-inglese si possono scegliere \(\displaystyle 18 \) modi differenti, questo perché le possibili posizioni sono \(\displaystyle 9 \) e le permutazioni della coppia \(\displaystyle 2! \): per il principio fondamentale del calcolo combinatorio \(\displaystyle 9 \times 2! = 18 \).
Poiché gli altri due delegati citati non possono sedere vicini deve esserci almeno un delegato di un altro paese tra i due. Indicando con il simbolo \(\displaystyle 2 \) la coppia di delgati italiano/inglese, con \(\displaystyle 1 \) uno o più delegati che non siano nei quattro citati e con il simbolo \(\displaystyle 0 \) un delegato tra francese o statunitense, si ha una situazione tipo \(\displaystyle 0\;2\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0 \): si deve quindi scegliere \(\displaystyle 2 \) posti tra i le \(\displaystyle 8 \) possibilità rappresentate dagli \(\displaystyle 0 \) presenti. Ciò si traduce nel coefficiente binomiale \(\displaystyle \binom{8}{2} = 28 \).
Infine i restanti 6 delegati possono permutare in \(\displaystyle 6! = 720 \) modi.
Per il principio fondamentale si conclude che le file possibili, considerando le condizioni iniziali, sono \(\displaystyle 18 \times 28 \times 720 = 362880 \).
Soluzione del testo
Dove sbaglio? Come andrebbe affrontato un problema del genere? Quali domande bisogna porsi per ottenere un procedimento corretto? Grazie in anticipo
Risposte
Innanzitutto sbagli nel calcolare $9 *2!$, devi considerare anche il 9 come un fattoriale...
Non capisco bene il tuo ragionamento.
La maniera più semplice mi pare sia quella di ragionare così: il numero che cerchi è dato dalle disposizioni delle 10 persone dove c'È una coppua meno il numero delle disposizioni delle 10 persone dove ci sono due coppue.
Non capisco bene il tuo ragionamento.
La maniera più semplice mi pare sia quella di ragionare così: il numero che cerchi è dato dalle disposizioni delle 10 persone dove c'È una coppua meno il numero delle disposizioni delle 10 persone dove ci sono due coppue.
"DajeForte":
Innanzitutto sbagli nel calcolare $9 *2!$, devi considerare anche il 9 come un fattoriale...
Se considero 9! sto permutando un insieme di 9 coppie da disporre in fila, o sbaglio?
"DajeForte":
Il numero che cerchi è dato dalle disposizioni delle 10 persone dove c'È una coppua meno il numero delle disposizioni delle 10 persone dove ci sono due coppue.
Il mio libro non tratta direttamente le disposizioni e ho dovuto cercare online quindi sicuramente sbaglio ma significa fare $D_{10,2} - D_{10,4}$?
Scusa mi sa che ho usato un termine, despisizioni, che ti ha confuso. Magari permitazioni sarebbe meglio. Quello che intendo come si possono sedere i delegati.
Per il primo punto quello che fai è considerare la coppia come un elemento (persona) unica. Cone fai nel calcolare le permutazioni della coppia (2!), allo stesso modo calcoli le permutazioni di queste 9 persone/coppie.
Ritornando al secondo punto, una volta calcolato il numero di permutazione dove l'italiano e l'inglese sono vicini calcolati le permutazione l'italiano e l'inglese sono e vicine e pure l'americano ed il francese sono vicini. Il primo numero meno il secondo ti da quello che cercho. Lo vedi?
Per il primo punto quello che fai è considerare la coppia come un elemento (persona) unica. Cone fai nel calcolare le permutazioni della coppia (2!), allo stesso modo calcoli le permutazioni di queste 9 persone/coppie.
Ritornando al secondo punto, una volta calcolato il numero di permutazione dove l'italiano e l'inglese sono vicini calcolati le permutazione l'italiano e l'inglese sono e vicine e pure l'americano ed il francese sono vicini. Il primo numero meno il secondo ti da quello che cercho. Lo vedi?
Scusa ma non ho capito 
"AlgebristaOrtopedico":
Dove sbaglio? Come andrebbe affrontato un problema del genere? Quali domande bisogna porsi per ottenere un procedimento corretto? Grazie in anticipo
Provo a spiegarti dove sbagli:
Il primo punto mi sembra corretto,
hai 18 modi possibili per inserire A/B (B/A) nei 10 posti liberi.
Restano 8 posti, e li dividi tra C/D e gli altri 6.
C/D li puoi disporre in (8,2) in realta' dovresti moltiplicare * 2 (C/D <-> D/C)
ma così facendo non fai altro che 8!
18 * 8! = 725.760
(ma queste son quelle totali... non hai calcolato quella dove C/D sono vicini ... da escludere...)
"Umby":
C/D li puoi disporre in (8,2) in realta' dovresti moltiplicare * 2 (C/D <-> D/C)
Giusto! Ho dimenticato le permutazioni interne della coppia!
"Umby":
(ma queste son quelle totali... non hai calcolato quella dove C/D sono vicini ... da escludere...)
Come faccio? Questo è il punto in particolare che mi da tormento da due giorni!!!
Chiamerò le persone con le varie lettere che è più semplice.
Allora prima devi calcolare le permutazione in cui A e B sono vicini.
2*8!*9 = 725'760 da questa devi sottrarre le permutazioni in cui C e D non sono vicini.
Fai finta che A e B siano diventate un'unica persona, a questo punto ci sono 9 persone.
quindi 2*7!*8*2 = 161280
725760 - 161280 = 564480
Al primo punto tu hai A B C D E F G H I L
Devi tenere fermi A e B e disponi le restanti persone, quindi 2*8!, A e B possono assumere 9 posizioni. Quindi 2*8!*9
Al secondo punto tu hai AB C D E F G H I L, quindi in teoria 9 persone ( ma ricorda che l'ordina di A e B è fondamentale)
tieni fermi C e D e disponi le altre 7 persone quindi 2*7!, la coppia CD può assumere 8 posizioni. 2*7!*8 = 80640. Ma questo risultato va moltiplicato per 2 perchè abbiamo considerato soltanto AB C D E F G H I L e non BA C D E F G H I L.
Allora prima devi calcolare le permutazione in cui A e B sono vicini.
2*8!*9 = 725'760 da questa devi sottrarre le permutazioni in cui C e D non sono vicini.
Fai finta che A e B siano diventate un'unica persona, a questo punto ci sono 9 persone.
quindi 2*7!*8*2 = 161280
725760 - 161280 = 564480
Al primo punto tu hai A B C D E F G H I L
Devi tenere fermi A e B e disponi le restanti persone, quindi 2*8!, A e B possono assumere 9 posizioni. Quindi 2*8!*9
Al secondo punto tu hai AB C D E F G H I L, quindi in teoria 9 persone ( ma ricorda che l'ordina di A e B è fondamentale)
tieni fermi C e D e disponi le altre 7 persone quindi 2*7!, la coppia CD può assumere 8 posizioni. 2*7!*8 = 80640. Ma questo risultato va moltiplicato per 2 perchè abbiamo considerato soltanto AB C D E F G H I L e non BA C D E F G H I L.
In sintesi:
(a/b a braccetto): [AB] [C] [D] [E] [F] [G] [H] [L]
hai 9 oggetti, di cui uno "doppio"
2*9!
(a/b e c/d a braccetto): [AB] [CD] [E] [F] [G] [H] [L]
hai 8 oggetti, di cui due "doppi"
2*2*8!
(a/b a braccetto): [AB] [C] [D] [E] [F] [G] [H] [L]
hai 9 oggetti, di cui uno "doppio"
2*9!
(a/b e c/d a braccetto): [AB] [CD] [E] [F] [G] [H] [L]
hai 8 oggetti, di cui due "doppi"
2*2*8!
Molto esaurienti! Non solo mi avete aiutato nella risoluzione dell'esercizio ma sono entrato anche nell'ottica del ragionamento! 
Grazie mille!
Grazie mille!
Testo
E se il tavolo fosse circolare?
I delegati di 10 paesi, tra i quali la Francia, l'Italia, la Gran Bretagna e gli USA, devono sedersi in circolo. In quanti modi lo possono fare se si vuole che i delegati italiano ed inglese siedano vicini e che i delegati francese e statunitense non siedano accanto?
E se il tavolo fosse circolare?
"nino_":
E se il tavolo fosse circolare?
Ma che fate ? mettete i quiz qui, per poi ricopiare le soluzioni altrove ?
Tra le centinaia di quiz che ho proposto e che sono stati approfonditi in quel forum (molti dei quali inediti), ritenendolo carino, ho ritenuto di inserire anche questo.
Trovare il risultato è piuttosto semplice, anche se riconosco che la tua soluzione è più brillante delle altre.
Mi scuso se l'ho riportata omettendo di indicarne l'autore ed informo di avervi già rimediato.
Trovare il risultato è piuttosto semplice, anche se riconosco che la tua soluzione è più brillante delle altre.
Mi scuso se l'ho riportata omettendo di indicarne l'autore ed informo di avervi già rimediato.
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