Esercizio simpatico

[Camillo]

Vi propongo questo esercizio su applicazioni lineari e matrici :
Si consideri lo spazio vettoriale M(n,n) delle matrici reali (n,n) e sia F:M(n,n) ---> M(n,n) l'applicazione lineare data da :

$F(A) = A + A^T$, dove con $A^T $ si indica la trasposta di A.

Verificare che F è lineare e determinare la Dimensione e una Base di Ker(F) e Im(F) .

[eafkuor1]

Wow, non ci ho capito una cippa

[Principe2]

f è lineare... per questioni di evidenza...
il nucleo è costituito dalle matrici antisimmetriche e l'immagine da quelle simmetriche...
la dimensione e una base...
vediamo un pò....
la dimensione dell'immagine si ottiene assegnando gli elementi diagonali e
sopra la diagonale.. quindi direi $n+(n-1)+..+2+1=...$
idem per la dimensione del nucleo...
si noti che sommando le due dimensioni si ottiene $n$...
e se si pensa che nucleo e immagine si intersecano nelle matrici scalari...
direi che tutto torna

p.s.
una base a questo punto è ovvia... basta mettere un pò di uni e un pò di zeri...

[Camillo]

Ho capito , troppo facile !!
Dim Im = $ (n/2)*(n+1) = 1+2+...+n $
Dim Ker : non vanno assegnati gli elementi della diagonale in quanto tutti nulli e quindi la dimensione con facile calcolo si trova essere : $(n/2)(n-1) $ .
Per il Teorema delle Dimensioni è : Dim Ker +Dim Im = Dim M(n,n ) = $n^2$ ed infatti :
$(n/2)(n-1) +(n/2)(n-1) = n^2 $ .
Pensavo resistesse irrisolto almeno mezza giornata

[Principe2]

e pure te hai ragione....
mi sono inventato le "matrici antisimmetriche secondo Ubermensch"
che hanno gli elementi diagonali non nulli...