Esercizio difficile su scacchiera

[giambax]

Qual è il numero minimo di pedine che bisogna
collocare su una scacchiera di 8x8 caselle, in modo
che ciascuna retta che passa per il centro di una
casella e coincide con una delle due diagonali della
scacchiera oppure è parallela ad un suo lato o a
una delle sue due diagonali incontri almeno una
pedina?

[axpgn]

$5$

[giambax]

No, la risposta dice 16...

[orsoulx]

Beh, Che maniere! La risposta dice bene, ma non era il caso di pubblicarla.

Le quattro case d'angolo devono essere occupate, altrimenti le parallele alle diagonali che passano solo per una di esse non troverebbero alcuna pedina, Restano ancora 12 parallele a ciascuna diagonale da coprire, quindi intutto almeno 12+4=16 pedine. Pedine che risultano anche sufficienti: basta ad esempio [strike]occupare completamente due colonne (o due righe) a contatto coi bordi della scacchiera[/strike] aspettare che veciorik le sistemi per bene.

Ciao

[axpgn]

@riemannstella
Allora ho interpretato male la domanda ... e ci penso ancora un po' ...

[veciorik]

occupare le 4 caselle d'angolo di 4 scacchiere concentriche:
[asvg]width=300;height=300;xmin=0.065;xmax=0.735;ymin=0.065;ymax=0.735;noaxes();grid(0.1,0.1);
strokewidth=2;var r=(0.01);var x=-0.05;
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);
x=x+0.1;circle([x,x],r);circle([x,0.8-x],r);[/asvg]

[axpgn]

@veciorik

Non va bene ... per esempio la diagonale "scacchistica" a2-b1 non è coperta da nessuna pedina ...

[axpgn]

@orsoulx
Penso che non vada bene ... le orizzontali "interne" (o le verticali) non sono coperte ...

[veciorik]

[asvg]width=300;height=300;xmin=0.065;xmax=0.735;ymin=0.065;ymax=0.735;noaxes();grid(0.1,0.1);
strokewidth=2;var r=(0.01);var x;
x=0.05;circle([x,x],r);circle([x,x+0.1],r);circle([x,x+0.2],r);circle([x,x+0.3],r);
circle([x,0.8-x],r);circle([x+0.1,0.8-x],r);circle([x+0.2,0.8-x],r);circle([x+0.3,0.8-x],r);
circle([x+0.4,x],r);circle([x+0.5,x],r);circle([x+0.6,x],r);circle([x+0.7,x],r);
x=0.75;circle([x,x],r);circle([x,x-0.1],r);circle([x,x-0.2],r);circle([x,x-0.3],r);[/asvg]

[axpgn]

Questo mi piace molto!

[veciorik]

Anche questa funziona, ma la prima era più graziosa:

[asvg]width=300;height=300;xmin=0.065;xmax=0.735;ymin=0.065;ymax=0.735;noaxes();grid(0.1,0.1);
strokewidth=5; dot([0.05,0.05]);dot([0.05,0.75]);dot([0.75,0.05]);dot([0.75,0.75]);
function Obliqrect(col,x,pos){
strokewidth=2;stroke=col;
path([[0.05,0.75-x],[x+0.05,0.75],[0.75,x+0.05],[0.75-x,0.05],[0.05,0.75-x]]);
strokewidth=5;
if (pos==1) {dot([0.05,0.75-x]);dot([0.75,x+0.05]);} else {dot([x+0.05,0.75]);dot([0.75-x,0.05]);}
}
Obliqrect("red",0.1,1);
Obliqrect("blue",0.2,2);
Obliqrect("orange",0.3,1);
Obliqrect("orange",0.4,2);
Obliqrect("blue",0.5,1);
Obliqrect("red",0.6,2);[/asvg]
PostScriptum: ho aggiunto i rettangoli obliqui colorati che mi servono per dimostrare graficamente quanto dirò più avanti sul numero minimo.

[orsoulx]

"axpgn":Penso che non vada bene ..

E, come al solito, pensi bene.
Ciao

[orsoulx]

@Alex,
però non vale cercare di far sparire le prove del furto di marmellata: sull'asciugamano restano le macchie.

@Rik,
complimenti: molto belle!

Ciao

[axpgn]

@veciorik
Questa è la versione che stavo costruendo in modo sistematico, ma ho perso la pazienza molto presto ...
L'altra è più carina ...

[axpgn]

@orsoulx
Dovevo lasciare quelle stupidaggini?

[axpgn]

A rigore andrebbe dimostrato che quello è il minimo ...

Ci sono $15$ diagonali sinistre e altrettante destre, ogni pedina ne copre una destra e una sinistra perciò il minimo teorico è $15$.
Siccome i quattro angoli devono essere tutti occupati avremo la "perdita" di una diagonale destra e una sinistra quindi occorre almeno una pedina in più

[orsoulx]

Per tirare le somme e generalizzare.

Data una scacchiera quadrata di lato $ n>1 $ direi che il minimo numero di pedine necessario è, se $ n $ è pari, $ 2n $. Queste vanno disposte sulle caselle ai bordi della scacchiera, occupando, oltre ai quattro angoli, posizioni invarianti per rotazioni di multipli di $ 90° $, in modo che in ciascuna coppia di caselle equidistanti dalla mezzeria, una ed una sola di esse sia occupata. Ad esempio per $ n= 8 $ sono possibili solamente le disposizioni $ OOOOXXXO, OOOXOXXO, OOXXOOXO, OOXOXOXO $ e le loro simmetriche (corrispondenti alla scacchiera vista da sotto).
Per il caso di $ n>1 $ dispari, il numero di pedine necessarie è $ 2n+1$ con posizioni, per le caselle non centrali, uguali a quelle della scacchiera di lato $ n-1 $, a cui si aggiungono le caselle centrali di due lati opposti e una casella qualsiasi della riga/colonna centrale parallela ai lati in questione.

"axpgn":A rigore andrebbe dimostrato che quello è il minimo ...

Ma allora dillo che ce l'hai con me!
Ciao

[axpgn]

No, dai ... solo che mi sembrava mancasse il puntino sulla i ...

[veciorik]

"orsoulx":Per tirare le somme e generalizzare.

Data una scacchiera quadrata di lato $ n>1 $ direi che il minimo numero di pedine necessario è, se $ n $ è pari, $ 2n $. Queste vanno disposte sulle caselle ai bordi della scacchiera, occupando, oltre ai quattro angoli, posizioni invarianti per rotazioni di multipli di $ 90° $
...omissis...
Per il caso di $ n>1 $ dispari, il numero di pedine necessarie è $ 2n+1$
...omissis...

Nel disegno del mio precedente messaggio ho aggiunto i rettangoli obliqui colorati che dimostrano il calcolo del numero minimo di pedine. I numeri sono gli stessi di orsoulx, ma ho preferito disegnare.

Oltre alle 4 pedine d'angolo, bastano 2 pedine per ognuno dei $n-2$ rettangoli obliqui, disposte nei vertici opposti del rettangolo e nei corrispondenti vertici del rettangolo congruente ruotato di 90° (quello con lo stesso colore).
Se $n$ è dispari basta aggiungere una pedina al centro del rettangolo spaiato, quello quadrato.

[giambax]

In effetti ho esagerato a dire difficile...
cmq complimenti ottime soluzioni soprattutto l'ultima.