Esercizi vari
1) Sia ABC un triangolo, e sia I il punto d'incontro delle bisettrici AE e BF. Se il triangolo ABC è isoscele sulla base AB si ha che IE = IF.
Determinare se esistono altri casi in cui si ha tale uguaglianza.
2) Si consideri la parola Matematicamente. Quante parole di 6 lettere, anche prive di significato, si possono formare?
3) Determinare l'area dell'insieme dei punti dello spazio tali che
$x+y+z=2$ e $xy+yz+zx>=1$.
4) In tre urne A, B e C, sono stati messi dentro a contenitori indistinguibili cartellini con sopra stampigliato un numero. In dettaglio nell'urna A ci sono 20 contenitori con i numeri da 1 a 20, nell'urna B ci sono 18 contenitori con numeri da 11 a 28, nell'urna C ci sono 16 contenitori con numeri da 21 a 36. Dopo aver scelto a caso una delle tre urne si estraggono da essa due contenitori senza reimbussolamento. Si determini la probabilità che possa individuarsi con esattezza l'urna da cui sono estratti i due contenitori.
Determinare se esistono altri casi in cui si ha tale uguaglianza.
2) Si consideri la parola Matematicamente. Quante parole di 6 lettere, anche prive di significato, si possono formare?
3) Determinare l'area dell'insieme dei punti dello spazio tali che
$x+y+z=2$ e $xy+yz+zx>=1$.
4) In tre urne A, B e C, sono stati messi dentro a contenitori indistinguibili cartellini con sopra stampigliato un numero. In dettaglio nell'urna A ci sono 20 contenitori con i numeri da 1 a 20, nell'urna B ci sono 18 contenitori con numeri da 11 a 28, nell'urna C ci sono 16 contenitori con numeri da 21 a 36. Dopo aver scelto a caso una delle tre urne si estraggono da essa due contenitori senza reimbussolamento. Si determini la probabilità che possa individuarsi con esattezza l'urna da cui sono estratti i due contenitori.
Risposte
Problema numero 4.
Consideriamo i seguenti eventi:
$X$ = si individua con esattezza l'urna da cui sono stati estratti i contenitori
$Y_i, i={A,B,C}$ = il contenitore scelto a caso è quello contrassegnato dalla lettera $i$
Dal teorema della probabilità totale, abbiamo che
$P(X)=P(X|Y_A)P(Y_A)+P(X|Y_B)P(Y_B)+P(X|Y_C)P(Y_C)
Ovviamente è
$P(Y_A) = P(Y_B) = P(Y_C) = 1/3$
Meno immediato è calcolare $P(X|Y_A)$,$P(X|Y_B)$ e $P(X|Y_C)$
$P(X|Y_A)$ equivale alla probabilità che almeno uno dei due numeri estratti sia $<= 10$
$P(X|Y_B)$ equivale alla probabilità che uno dei due numeri estratti sia $<= 20$ e l'altro no
$P(X|Y_C)$ equivale alla probabilità che almeno uno dei due numeri estratti sia $>= 29$
Se non ho sbagliato i conti il risultato finale dovrebbe essere
$P(X)=1/3 (29/38 + 80/153 + 23/30)$
Per il problema 2 non ho capito quali lettere si possono utilizzare... ad esempio compare 3 volte la lettera "a", può dunque essere presa 3 volte al massimo o 1 soltanto al massimo?
Consideriamo i seguenti eventi:
$X$ = si individua con esattezza l'urna da cui sono stati estratti i contenitori
$Y_i, i={A,B,C}$ = il contenitore scelto a caso è quello contrassegnato dalla lettera $i$
Dal teorema della probabilità totale, abbiamo che
$P(X)=P(X|Y_A)P(Y_A)+P(X|Y_B)P(Y_B)+P(X|Y_C)P(Y_C)
Ovviamente è
$P(Y_A) = P(Y_B) = P(Y_C) = 1/3$
Meno immediato è calcolare $P(X|Y_A)$,$P(X|Y_B)$ e $P(X|Y_C)$
$P(X|Y_A)$ equivale alla probabilità che almeno uno dei due numeri estratti sia $<= 10$
$P(X|Y_B)$ equivale alla probabilità che uno dei due numeri estratti sia $<= 20$ e l'altro no
$P(X|Y_C)$ equivale alla probabilità che almeno uno dei due numeri estratti sia $>= 29$
Se non ho sbagliato i conti il risultato finale dovrebbe essere
$P(X)=1/3 (29/38 + 80/153 + 23/30)$
Per il problema 2 non ho capito quali lettere si possono utilizzare... ad esempio compare 3 volte la lettera "a", può dunque essere presa 3 volte al massimo o 1 soltanto al massimo?
Problema 3.
Dovrebbe venire fuori un'ellisse, la cui area dovrebbe essere pari a $2/9 sqrt(3) pi$.
Dovrebbe venire fuori un'ellisse, la cui area dovrebbe essere pari a $2/9 sqrt(3) pi$.
4) Mi sembra giusto
2) Intendo che la lettera a può essere presa tre volte al massimo, la lettera n una volta al massimo, ecc.
3) Anch'io ho commesso il tuo stesso errore.
L'area che hai trovato è la proiezione ortogonale sul piano xy dell'area che si deve calcolare.
2) Intendo che la lettera a può essere presa tre volte al massimo, la lettera n una volta al massimo, ecc.
3) Anch'io ho commesso il tuo stesso errore.
L'area che hai trovato è la proiezione ortogonale sul piano xy dell'area che si deve calcolare.
In effetti l'area esatta e' $2/3pi$
kaarl
kaarl
"Piera":
1) Sia ABC un triangolo, e sia I il punto d'incontro delle bisettrici AE e BF. Se il triangolo ABC è isoscele sulla base AB si ha che IE = IF.
Determinare se esistono altri casi in cui si ha tale uguaglianza.
Tale uguaglianza vale per ogni triangolo che ha l'angolo ACB di 60°.
"Piera":
3) Anch'io ho commesso il tuo stesso errore.
L'area che hai trovato è la proiezione ortogonale sul piano xy dell'area che si deve calcolare.
Vero, è la proiezione su $RR^2$... a dire il vero mi era venuto il sospetto che qualcosa non quadrasse... un problema di dimensione
Ok, i vostri risultati sono esatti.
Chi prova a fare il secondo esercizio?
Chi prova a fare il secondo esercizio?
Per il secondo ho cercato di tenere in conto tutta la casistica possibile (che non è poca) e mi viene $40068$.
Il secondo si risolve con le permutazioni con ripetizione.
$P_(n,r_1,r_2,...,r_k)^R=(n!)/(r_1!,r_2!,...,r_k!)$
Dove $r_i$ è il numero di volte che si ripete l'elemento $i$.
Nel nostro caso, "MATEMATICAMENTE" è fomata da 15 lettere, di cui:
M si ripete 3 volte.
A si ripete 3 volte.
T si ripete 3 volte.
E si ripete 3 volte.
Le altre lettere non si ripetono.
Quindi, le possibili permutazioni saranno:
$P_(15,3,3,3,3)^R=(15!)/(3!3!3!3!)=1009008000$
$P_(n,r_1,r_2,...,r_k)^R=(n!)/(r_1!,r_2!,...,r_k!)$
Dove $r_i$ è il numero di volte che si ripete l'elemento $i$.
Nel nostro caso, "MATEMATICAMENTE" è fomata da 15 lettere, di cui:
M si ripete 3 volte.
A si ripete 3 volte.
T si ripete 3 volte.
E si ripete 3 volte.
Le altre lettere non si ripetono.
Quindi, le possibili permutazioni saranno:
$P_(15,3,3,3,3)^R=(15!)/(3!3!3!3!)=1009008000$
@cheguevilla
l'esercizio non chiede di determinare il numero di anagrammi che si formano con la parola matematicamente ma le parole di 6 lettere.
@kroldar
a me è venuto un valore diverso, salvo errori.
Occorre distinguere i seguenti casi:
a) tutte le lettere sono distinte: $D_(7,6)$;
b) 2 lettere si ripetono tre volte: $C_(4,2)*P_(6,3,3)^R$;
c) una lettera si ripete tre volte e le altre sono distinte: $C_(4,1)*C_(6,3)*P_(6,3,1,1,1)^R$;
d) una lettera si ripete tre volte, una lettera due volte e una lettera una volta: $C_(4,1)*C_(3,1)*C_(5,1)*P_(6,3,2,1,)^R$;
e) tre lettere si ripetono due volte: $C_(4,3)*P_(6,2,2,2)^R$;
f) una lettera si ripete due volte e le altre sono distinte: $C_(4,1)*C_(6,4)*P_(6,2,1,1,1,1)^R$;
g) due lettere si ripetono due volte e le altre sono distinte: $C_(4,2)*C_(5,2)*P_(6,2,2,1,1)^R$.
l'esercizio non chiede di determinare il numero di anagrammi che si formano con la parola matematicamente ma le parole di 6 lettere.
@kroldar
a me è venuto un valore diverso, salvo errori.
Occorre distinguere i seguenti casi:
a) tutte le lettere sono distinte: $D_(7,6)$;
b) 2 lettere si ripetono tre volte: $C_(4,2)*P_(6,3,3)^R$;
c) una lettera si ripete tre volte e le altre sono distinte: $C_(4,1)*C_(6,3)*P_(6,3,1,1,1)^R$;
d) una lettera si ripete tre volte, una lettera due volte e una lettera una volta: $C_(4,1)*C_(3,1)*C_(5,1)*P_(6,3,2,1,)^R$;
e) tre lettere si ripetono due volte: $C_(4,3)*P_(6,2,2,2)^R$;
f) una lettera si ripete due volte e le altre sono distinte: $C_(4,1)*C_(6,4)*P_(6,2,1,1,1,1)^R$;
g) due lettere si ripetono due volte e le altre sono distinte: $C_(4,2)*C_(5,2)*P_(6,2,2,1,1)^R$.
"Piera":
@kroldar
a me è venuto un valore diverso, salvo errori.
Occorre distinguere i seguenti casi:
a) tutte le lettere sono distinte: $D_(7,6)$;
b) 2 lettere si ripetono tre volte: $C_(4,2)*P_(6,3,3)^R$;
c) una lettera si ripete tre volte e le altre sono distinte: $C_(4,1)*C_(6,3)*P_(6,3,1,1,1)^R$;
d) una lettera si ripete tre volte, una lettera due volte e una lettera una volta: $C_(4,1)*C_(3,1)*C_(5,1)*P_(6,3,2,1,)^R$;
e) tre lettere si ripetono due volte: $C_(4,3)*P_(6,2,2,2)^R$;
f) una lettera si ripete due volte e le altre sono distinte: $C_(4,1)*C_(6,4)*P_(6,2,1,1,1,1)^R$;
g) due lettere si ripetono due volte e le altre sono distinte: $C_(4,2)*C_(5,2)*P_(6,2,2,1,1)^R$.
Con tutti quei conti è facile che abbia sbagliato qualcosa... cmq ho adottato un procedimento analogo al tuo.
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