Esercizi INDAM 2003/2004

[Aethelmyth]

4) Siano A, B, C tre punti allineati dello spazio, con B compreso fra A e C. Sia $S_1$ la sfera di diametro AB, sia $S_2$ la sfera di diametro BC e sia $S$ la sfera di diametro AC. Sapendo che la superficie di $S$ ha area quadrupla rispetto a $S_1$, qual è il rapporto fra i volumi di $S$ e di $S_2$?

(A) $2$
(B) $4$
(C) $8$
(D) $2sqrt2$
(E) $sqrt5$

5) Nel gioco del lotto vengono estratti successivamente 5 numeri compresi fra 1 e 90, ogni volta senza rimettere nell’urna i numeri precedentemente estratti. Assumiamo come definizione di probabilità di un evento il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento ed il numero dei casi possibili. Qual è la probabilità che i 5 numeri estratti nella ruota di Cagliari siano in ordine crescente oppure in ordine decrescente?

(A) $1/120$
(B) $1/40$
(C) $1/55$
(D) $1/45$
(E) $1/60$

Ovviamente postate anche il ragionamento che vi ha condotto alla soluzione

[G.D.5]

Per il primo quesito.

Siano $A_S$, $A_(S_1)$ e $A_(S_2)$ le misure delle superfici delle sfere $S$, $S_1$ e $S_2$ rispettivamente; siano $AC=r$, $AB=r_1$ e $BC=r_2$ i raggi delle sfere $S$, $S_1$ e $S_2$ rispettivamente.

Dai dati del testo del problema si ha che

$A_S=4*A_(S_1)$

e ricorrendo alle formule che esprimono il calcolo della superfice sferica in funzione del raggio si ha che

$4pir^2=4*4pir_1^2$;

dall'ultima uguaglianza segue che $r=2r_1$.
Inoltre, per come sono disposti i punti $A$, $B$ e $C$ si ha che: $2r=2r_1+2r_2 => 2r_2=2r-2r_1 => 2r_2=4r_1-2r_1 => r_2=r_1$.

Sia $V_(S_2)$ il volume di $S_2$: per le note formule si ha

$V_(S_2)=(4pir_2^3)/(3);

allo stesso modo, sia $V_S$ il volume di $S$:

$V_S=(4pir^3)/(3)=(4pi(2r_2)^3)/(3)=(32pir_2^3)/(3)$.

Il rapporto tra i volumi di $S$ e $S_2$ allora è:

$rho=(V_S)/(V_(S_2))=((32pir_2^3)/(3))/((4pir_2^3)/(3))=8$.

[G.D.5]

Siano $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$ e $n_5$ i cinque numeri estratti; questi si presenteranno in un certo ordine e tutti i possibili modi di estrarre questi numeri sono dati dai riordinamenti degli stessi: cioè dalle loro permutazioni; siano queste indicate da $sigma$, si ha che

$sigma=5! =120$.

Ovviamente è una sola la sequenza ordinata in modo crescente così come è una sola la sequenza ordinata in modo decrescente: sia $P_c=1/120$ la probabilità di avere la sequenza ordinata in modo crescente e sia $P_d=1/120$ la probabiltà di avere la sequenza ordinata in modo decrescente; la probabilità $P$ è allora una probabilità composta:

$P=P_c+P_d=1/120+1/120=1/60$