Equazioni reciproche

[giannirecanati]

Sia \(\displaystyle p(x)=0 \) un'equazione reciproca di prima o seconda specie con \(\displaystyle deg(p(x))=n \). Dimostrare che l'equazione ammette soluzioni reciproche.

[Palliit]

L'equazione sia: (1) [tex]a_{n}x^n + a_{n-1} x^{n-1}+...\pm a_{n-1} x\pm a_{n}=0[/tex] con $a_n \ne0$,

e sia $x_0$ una soluzione (ovviamente è $x_0\ne0$); allora è: (2) [tex]a_{n}x^n_0 + a_{n-1}x^{n-1}_0+...\pm a_{n-1}x_0\pm a_{n}=0[/tex];

poniamo $x=1/x_0$ nel primo membro della (1):

[tex]a_{n}\frac{1}{x^n_0} + a_{n-1}\frac{1}{x^{n-1}_0}+...\pm a_{n-1}\frac{1}{x_0}\pm a_{n}=\frac{1}{x^n_0}\cdot \left [ a_n+a_{n-1}x_0+...\pm a_{n-1}x^{n-1}_0\pm a_nx^n_0 \right ][/tex]

che è nullo per la (2), dunque $1/x_0$ è soluzione della (1).

[giannirecanati]

Perfetto!

[Palliit]

Grazie!