Equazioni di secondo grado

[ghira1]

Visto su Twitter. https://twitter.com/redmanwinoshoes/sta ... 2478507008

Dimostra che se $a$, $b$ e $c$ sono interi dispari, le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ non possono essere razionali.

[axpgn]

Proviamo a dimostrare il contrario ...

Affinché le soluzioni siano razionali, $d^2=b^2-4ac$ deve essere un quadrato perfetto e deve essere dispari.
Supponiamo che siano $b=2k+1$ e $d=2h+1$.

Dato che è $b^2-d^2=4ac$, abbiamo $4ac=(2k+1)^2-(2h+1)^2=4k^2+4k+1-4h^2-4h-1$
Ovvero $4ac=4(k^2+k-h^2-h)\ ->\ ac=(k^2+k-h^2-h)$

Ora $ac$ è dispari mentre $k^2+k-h^2-h$ è sempre pari.

Assurdo.

Che ne dite? Funziona?

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":
Che ne dite? Funziona?

Mi pare di sì. Ho visto che nel filone originale l'hanno fatto in vari modi.

[hydro1]

Se $ax^2+bx+c$ ha una radice razionale $r/s$, allora $s$ divide $a$. Ma allora $s$ è dispari, quindi $r/s$ riduce ad una radice razionale di $ax^2+bx+c$ modulo $2$. Modulo 2 si ha $ax^2+bx+c\equiv x^2+x+1$ per ipotesi, ed il secondo non ha radici in $\mathbb F_2$, contraddizione.

[veciorik]

$ax^2+bx+c=(px+q)(rx+s)$
$"se " pr=a " e " qs=c " sono dispari allora " p,r,q,s " sono dispari quindi " b=ps+qr " è pari "$

[Studente Anonimo]

Giusto per farlo in modo differente:
Siccome \(c \) è dispari allora \(c\neq 0 \) pertanto possiamo usare la formula alternativa. Supponiamo vi sia almeno una radice razionale, senza perdita di generalità sia dunque la seguente radice razionale
\[ \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2c}{-b - \sqrt{\Delta}} \]
Siccome \(a,b,c \) sono dispari allora \( \Delta \) è dispari, e siccome la radice è razionale allora \( \sqrt{\Delta} \) è dispari. Notiamo che se \( \sqrt{\Delta} \equiv 1 \mod 4 \) allora \( - \sqrt{\Delta} \equiv 3 \mod 4 \), e viceversa. Dunque \( - b + \sqrt{\Delta} \equiv 0 \mod 4 \) e \( - b - \sqrt{\Delta} \equiv 2 \mod 4 \), oppure \( - b + \sqrt{\Delta} \equiv 2 \mod 4 \) e \( - b - \sqrt{\Delta} \equiv 0 \mod 4 \).
Supponiamo senza perdita di generalità che ci troviamo nel primo caso. Abbiamo allora \( - b + \sqrt{\Delta} =4 \alpha \) e \( - b - \sqrt{\Delta} = 2\gamma \), per qualche \( \alpha, \gamma \in \mathbb{Z} \), da cui
\[ \frac{2\alpha}{a} = \frac{c}{\gamma} \]
pertanto
\[ ac = 2 \alpha \gamma \]
è pari. Assurdo!