Equazione nei naturali
$2^a+2^b=3^c+3^d$
Risolvere l'equazionenei numeri naturali.
Le soluzioni sono infinte?
Se no, quante?E' possibile trovarle tutte?
Risolvere l'equazionenei numeri naturali.
Le soluzioni sono infinte?
Se no, quante?E' possibile trovarle tutte?
Risposte
Dove ho sbagliato(fretta e mancanza di tempo per controllare il tutto 
)?
Partiamo da $2^a+2^b=3^c+3^d$ $(1)$
Possiamo ottenere facilmente
$rootc(2^a+2^b-3^d)=3=rootd(2^a+2^b-3^c)$
da cui
$2^a+2^b-3^c=root(c/d)(2^a+2^b-3^d)$
ma anche
$root(d/c)(2^a+2^b-3^c)=2^a+2^b-3^d$
dalle quali si deduce che sia $c/d$ che $d/c$ devono essere numeri
interi, quindi $c=d$. Si puo' fare la stessa cosa con $a$ e $b$, quindi
$a=b$.
Abbiamo allora
$2^a+2^a=3^c+3^c$
$(2)(2^a)=(2)(3^c)$
$2^a=3^c$
da cui
$a=log_2(3^c)$
Da questa ultima equazione si vede che $a$ non è mai un numero intero,
quindi la $(1)$ non ha soluzioni in $NN$.
)?Partiamo da $2^a+2^b=3^c+3^d$ $(1)$
Possiamo ottenere facilmente
$rootc(2^a+2^b-3^d)=3=rootd(2^a+2^b-3^c)$
da cui
$2^a+2^b-3^c=root(c/d)(2^a+2^b-3^d)$
ma anche
$root(d/c)(2^a+2^b-3^c)=2^a+2^b-3^d$
dalle quali si deduce che sia $c/d$ che $d/c$ devono essere numeri
interi, quindi $c=d$. Si puo' fare la stessa cosa con $a$ e $b$, quindi
$a=b$.
Abbiamo allora
$2^a+2^a=3^c+3^c$
$(2)(2^a)=(2)(3^c)$
$2^a=3^c$
da cui
$a=log_2(3^c)$
Da questa ultima equazione si vede che $a$ non è mai un numero intero,
quindi la $(1)$ non ha soluzioni in $NN$.
Attenzione è "dollaro"espressione"dollaro" e non £espressione£. Controllate prima di postare!
si scusa ho corretto 
si ho sbagliato la deduzione "$c/d$ e $d/c$ devono essere numeri interi"
"eafkuor":
si ho sbagliato la deduzione "$c/d$ e $d/c$ devono essere numeri interi"
Anche $NN$. L'ho editato io! Vale per la prossima!!!
"eafkuor":
Da questa ultima equazione si vede che $a$ non è mai un numero intero,
quindi la $(1)$ non ha soluzioni in $NN$.
Controesempio $2^1+2^4=3^2+3^2$
gia...la dimostrazione di eakflour mi sembra sbagliata...cmq non ho la soluzione di questo problema...
Una soluzione che si "vede" subito è
la quadrupla nulla: $(a,b,c,d)=(0,0,0,0) in NN^4$
la quadrupla nulla: $(a,b,c,d)=(0,0,0,0) in NN^4$
"fireball":
Una soluzione che si "vede" subito è
la quadrupla nulla $(a,b,c,d)=(0,0,0,0) in NN^4$
Infatti quella è la soluzione "banale". Comunque io ho trovato molti valori per cui è verificata la relazione. Sono convinto che le soluzioni sono infinite in quanto i valori sono strettamente legati tramite la loro fattorizzazione!
Infatti quella è la soluzione "banale". Comunque io ho trovato molti valori per cui è verificata la relazione. Sono convinto che le soluzioni sono infinite in quanto i valori sono strettamente legati tramite la loro fattorizzazione!
Come sei riuscito a trovarle?puoi postare il metodo cosi vediamo!
e questa non la risolve piu nessuno?
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