Equazione negli interi

[giuseppe87x]

Trovare gli interi positivi $p, q, N$ tali che

$(p+q)^N=2*(p^N+q^N)$

Buon divertimento!

[Aethelmyth]

Mi azzardo a rispondere...
Credo che si debba considerare il problema iniziando dal fattore N.
Per N=1 => p+q= 2*(p+q) che non è mai vero
Per N=2 => p^2 + q^2 + 2pq = 2p^2 + 2q^2; 2pq=p^2+q^2 che è vera soltanto per p=q
Per N=3 => p^3 + q^3 + 3qp^2 + 3pq^2 = 2(p^3 + q^3); 3qp^2 + 3pq^2=p^3 + q^3 che non è mai vera.
Per N>3 la disparità dell'equazione salirà ulteriormente (xo nn so se sono in grado di dimostrarlo, anche se non credo sia difficile farlo)

Quindi le soluzioni sono infinite con N=2 e p=q=a qualsiasi numero

È giusto?

[giuseppe87x]

Anche io sono arrivato alle tue conclusioni. Tuttavia per fare le cose bene, si dovrebbe dimostrare per induzione o in qualche altro modo che per $N>=3$ non ci sono soluzioni. Ad esempio si potrebbe dimostrare la disuguaglianza $a^n+b^n=3$...che forse si potrebbe fare per induzione...

[Aethelmyth]

Posso chiedere xke usate il simbolo $ tra le formule? c'è qualche programma che non ho ma dovrei avere x caso?

Provo con l'induzione:
(n>2)
Per n=3 Vedi sopra

Per n+1 => p^(n+1) + q^(n+1) + (n+1)pq^(n) + mp^(2)q^(n-1) + .... + (n+1)qp^(n) = 2p^(n+1) + 2q^(n+1);
(n+1)pq^(n) + mp^(2)q^(n-1) + .... + (n+1)qp^(n) = p^(n+1) + q^(n+1)
Se p=q allora si vede benissimo che (n+1)pq^(n) > p^(n+1) + q^(n+1) in quanto n>2 [Infatti (n+1)p(n+1) > 2p(n+1)]
Se p>q V q>p ... mi sa ke non va bene così

se riprendiamo n=3 e poniamo p=1 e q=100 abbiamo => 3qp^2 + 3pq^2 = p^3 + q^3;
30300=1000001 che è sì falsa ma perchè 3qp^2 + 3pq^2 < p^3 + q^3, quindi se a seconda dei valori assegnati a p e q => 3qp^2 + 3pq^2 < p^3 + q^3 V 3qp^2 + 3pq^2 > p^3 + q^3 forse esiste qualche valore per cui è vera

[giuseppe87x]

https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6289

[giuseppe87x]

"giuseppe87x": Ad esempio si potrebbe dimostrare la disuguaglianza $a^n+b^n=3$...che forse si potrebbe fare per induzione...

La suddetta disequazione dovrebbe essere vera per le proprietà della disuguaglianza di raggruppamento o di "bunching"; se chi ne sa di più vuole confermare...

[Aethelmyth]

... cosa sono il bunching e la disuguaglianza di raggruppamento?

[Bruno13]

Ricopio i due scarabocchi che ho buttato giù dopo
aver visto (ieri mattina) questo post di Giuseppe87x.

Cerco di risolvere in N la seguente relazione:

(r+s)ª = 2·(rª+sª) ,

con (r,s)=1.

Per a=0 e a=1, l'equazione non ha soluzioni.
Per a>1, il primo membro può essere riscritto così
(ricordando lo sviluppo binomiale di Newton):

(r+s)ª = rª+sª+rs·k ,

per un certo k intero positivo.
Ciò significa che:

rª+sª+rs·k = 2·(rª+sª) ,

ossia:

rs·k = rª+sª

ma questo porta a concludere, essendo (r,s)=1, che
sia r=s=1 e a=2.

Le soluzioni dell'equazione di Giuseppe87x sono allora
infinite, rispetto ad n=2 e a qualunque scelta in N di p=q,
come giustamente ha concluso Aethelmyth.



[size=84]Edit: Corretto "irei" con ieri.[/size]

[Aethelmyth]

qualunque scelta in N di p=q

Cioè comunque scelgo N se p=q è vera?
Leggendo qllo ke ho scritto sopra sembra che rs•k = rª+sª abbia un limite r=s per cui la prima parte è sempre maggiore e un altro per cui r è infinitamente maggiore di s (o viceversa) per cui la seconda parte è sempre maggiore, non so se mi spiego

P.S. Come si chiamano le parti separate dall'uguale in un equazione? Non ricordo il termine (se c'è ma penso di si) xD

[Bruno13]

Ciao, Aethelmyth, e intanto benvenuto!
Purtroppo devo chiudere ma vorrei prima dirti questo,
sperando di interpretare bene i tuoi dubbi.
Le due parti di un'equazione si chiamano di solito
membri.
La lettera N che ho indicato è riferita all'insieme dei
naturali e non all'esponente.
Il fatto che rs·k = rª+sª porta a dire questo:
r divide il primo membro e perciò deve dividere anche
il secondo, questo significa che deve dividere sª.
Ma il massimo comun divisore di r ed s è 1 (per ipotesi)
e allora possiamo avere solo r=1. In tal modo si
deduce pure che s=1 e poi che k=2 e a=2.
Questo vale, però, quando r ed s siano primi fra loro.
Moltiplicando entrambi i membri di (1+1)² = 2·(1²+1²)
per il quadrato di un numero naturale qualsiasi, ottengo
gli altri valori di p e q.
Volo...

[Aethelmyth]

Grazie per il benvenuto e le delucidazioni
Mi ricordavo membri ma non ne ero proprio sicuro .

(r,s)=1 vuol dire che l'MCD tra r e s è 1? Sono un bel po' indietro con il linguaggio basilare, credo che aprirò un topic per chiedere delucidazioni .

Cmq ho capito ora
Per n=2 => p=q=(qualsiasi numero), per p=q=1 => n>2

[Bruno13]

"Aethelmyth":(...) (r,s)=1 vuol dire che l'MCD tra r e s è 1?

...yesss

"Aethelmyth":(...) Per n=2 => p=q=(qualsiasi numero), per p=q=1 => n>2

...in realtà, l'esponente n (che io ho chiamato a) può essere
solo uguale a 2, anche quando p e q siano unitari:
(1+1)ª=2·(1ª+1ª) --> 2ª=2·2 --> a=2.

[Aethelmyth]

"Bruno":[quote="Aethelmyth"](...) (r,s)=1 vuol dire che l'MCD tra r e s è 1?

...yesss

"Aethelmyth":(...) Per n=2 => p=q=(qualsiasi numero), per p=q=1 => n>2

...in realtà, l'esponente n (che io ho chiamato a) può essere
solo uguale a 2, anche quando p e q sono unitari:
(1+1)ª=2·(1ª+1ª) --> 2ª=2·2 --> a=2.[/quote]

è vero