Equazione

[giannirecanati]

Provare che non esistono quadruple di interi positivi \(\displaystyle (x,y,z,u) \) tali che:
\(\displaystyle x^2+y^2=3(z^2+u^2) \)

[xXStephXx]

Discesa infinita modulo 3

[giannirecanati]

Già che ci sei, scrivi tutto che può sempre tornare utile.

[xXStephXx]

In pratica il membro che sta a destra è multiplo di 3, quindi affinchè i due membri siano uguali è necessario che anche il membro a sinistra sia multiplo di 3. Il membro che sta a sinistra (da ora in poi LHS per fare prima) è una somma di due quadrati che deve essere divisibile per 3. Sappiamo che un quadrato diviso per 3 può dare o resto 0 o resto 1. (E la somma dei resti deve essere multipla di 3). Quindi l'unico caso possibile è quando entrambi i quadrati sono divisibili per 3. Siccome entrambi i numeri contengono il fattore 3, elevati al quadrato diventano multipli di 9, quindi LHS è multiplo di 9.. Così ora si può dividere tutto per 3.. E otteniamo una situazione analoga a quella iniziale.. Stavolta LHS è multiplo di 3 e anche RHS deve essere multiplo di 3, ma RHS è una somma di due quadrati.. Così si ripete il procedimento fatto sopra.. Si nota che si potrebbe andare avanti così all'infinito, dividendo sempre per 3, ma non riuscendo a semplificare nulla.. Ma un numero intero non si può dividere per 3 infinite volte (discesa infinita).. così si giunge ad un assurdo e non ci sono soluzioni.

[giannirecanati]

Perfetto!