Equazione

[xXStephXx]

Trovare tutte le coppie ordinate positive (x,y) che soddisfano l’equazione [tex]xy +5(x +y) = 2005[/tex]

[Paolo902]

Non che le diofantee siano il mio forte, ma ci provo ugualmente.

Anzitutto noto che è simmetrica, dunque se [tex](x,y)[/tex] è soluzione, anche [tex](y,x)[/tex] lo è.
Detto questo, poiché 5 divide RHS, necessariamente deve dividere LHS, dunque in particolare [tex]5\vert xy[/tex] ma poiché $5$ è primo deve dividere o [tex]x[/tex] o [tex]y[/tex]. Wlog, supponiamo che [tex]x=5z[/tex], [tex]z \in \mathbb{N}[/tex]: sostituendo trovo [tex]5z+y(z+1)=401[/tex].

Ora di nuovo 401 è primo, dunque in particolare [tex]$z=401k$[/tex] e [tex]y=401h[/tex]. Risostituendo si trova [tex]5k+hz+h=1[/tex] da cui necessariamente [tex]$k=0$[/tex] (altrimenti LHS è maggiore o uguale a 5). Quindi, [tex]h(z+1)=1[/tex] il che implica necessariamente - essendo [tex]h,z \in \mathbb{N}[/tex] - [tex]h=1[/tex] e [tex]z=0[/tex].
Risostituendo all'indietro si trova che le uniche soluzioni sono date dalla coppia [tex](401,0)[/tex] e dalla sua "sorella" [tex](0,401)$.[/tex]
D'altra parte, è immediato verificare che esse soddisfano effettivamente l'equazione proposta.

Che mi dici? Può andare?

[xXStephXx]

Le due soluzioni trovate sono esatte, ma a me ne risultano [tex]12[/tex] in totale.

[Umby2]

a me 6

0-401
2-285
5-198
9-140
24-65
30-53

[Gi81]

Le soluzioni intere positive sono 10 in tutto

quelle citate da umby, tranne la prima (perchè $x=0$ non va bene), e le rispettive simmetriche.
Infatti, se ${(x=a),(y=b):}$ è soluzione dell'equazione, anche ${(x=b),(y=a):}$ la è. Come ha detto Paolo90
In sintesi, io non ho fatto nulla. Ho solo "unito" le soluzioni di Umby e Paolo90

[xXStephXx]

Ok, se lo $0$ non conta come numero positivo ci sono $10$ soluzioni. Ma che procedimento avete usato? Dopo metto anche il mio.

Edit: vabbè posto ora, sicuramente esistono altri metodi.

La prima osservazione è che uno tra $x$ e $y$ deve essere multiplo di $5$. Così pongo $x=5n$ e riscrivo l'equazione iniziale.
$5ny + 5(5n+y) = 2005$
$ny + 5n + y = 401$
$ny + 5n +y + 5 = 401 + 5$
$n(y+5) + 1(y+5) = 406$
$(n+1)(y+5) = 406$

Ora fattorizzo $406$

406|1
203|2
58 |7
29 |14

Da cui ricavo.. ($n=0$,$y=401$), ($n=1$, $y=198$), ($n=6$, $y=53$), ($n=57$, $y=2)$, ($n=13$, $y=24$), ($n=28$, $y=9$)
Poi moltiplico tutti gli $n$ per $5$ e trovo le $x$ e raddoppio le soluzioni cambiando l'ordine perchè l'equazione è simmetrica

[Paolo902]

"xXStephXx":Ma che procedimento avete usato? Dopo metto anche il mio.

Sono curioso anche io di vedere il vostro ragionamento; soprattutto non capisco che cosa ho trascurato nel mio, evidentemente mi perdo qualcosa ma non riesco a vedere dove.

[xXStephXx]

Io l'ho messo nel post precedente modificandolo.

[Gi81]

Come detto prima, una delle due variabili, diciamo $x$, è un multiplo di $5=> x=5a$, $a in NN$

L'equazione può essere vista così: $y=(5*(401-x))/(x+5)$ . Vincoli: $x,y in NN^+$
Quindi $1<=x<=400$ (se fosse maggiore, $y$ sarebbe negativa)

Abbiamo che $x=5a$
L'equazione diventa $y=(401-5a)/(a+1)$ con $a in NN$, $1<=a<=80$
Ulteriore sostituzione: $b=a+1$ (dunque $x=5(b-1)$)

L'equazione diventa $y=(406-5b)/b$, con $bin NN$, $2<=b<=81$

Ora, affinchè $406-5b$ sia divisibile per $b$, è necessario che $b|406$ (perchè $b|-5b$ sempre)
Come ha scritto xXStephXx, $406=2*7*29$. Ci sono dunque $5$ possibilità: $b=2vvb=7vv b=14vvb=29vvb=58$

Da qui ricaviamo $x$ e $y$ e otteniamo le prime cinque soluzioni (quelle con $x$ multiplo di $5$)
Scambiando le $x$ con le $y$ troviamo le altre cinque. Fine

[Gi81]

"Paolo90": ...[tex]5z+y(z+1)=401[/tex] Ora di nuovo 401 è primo, dunque in particolare [tex]$z=401k$[/tex] e [tex]y=401h[/tex]...

Penso che l'errore sia qui

[Paolo902]

"Gi8":[quote="Paolo90"] ...[tex]5z+y(z+1)=401[/tex] Ora di nuovo 401 è primo, dunque in particolare [tex]$z=401k$[/tex] e [tex]y=401h[/tex]...

Penso che l'errore sia qui[/quote]

Tu dici? Però scusami non capisco una cosa:

Siccome 401 divide RHS deve dividere anche LHS. In particolare, [tex]401\vert 5z[/tex] e quindi [tex]401\vert z[/tex]. Dividendo $z$, non può dividere anche [tex]z+1[/tex] e quindi, per il secondo addendo, [tex]401\vert y[/tex].

Dici che c'è un errore? Ti ringrazio.

EDIT: ho capito tutto, sono un idiota! 5+3=8 che è divisibile per 8, ma né 5 né 3 lo sono. Che scemo! Grazie

[Gi81]

Ma se $(a+b)|401$ non è detto che $a|401 vv b|401$

edit: ok. tutto a posto allora.

Curiosità: cosa significano "RHS" e "LHS"? Sono sigle in inglese?

[xXStephXx]

Credo che faccia riferimento al membro a destra e quello a sinistra.

[Paolo902]

"Gi8":
Curiosità: cosa significano "RHS" e "LHS"? Sono sigle in inglese?

Left-Hand Side & Right-Hand Side (primo e secondo membro, insomma)

[Umby2]

"Gi8":

Le soluzioni intere positive sono 10 in tutto[spoiler] quelle citate da umby, tranne la prima (perchè $x=0$ non va bene), e le rispettive simmetriche.

"xXStephXx":Trovare tutte le coppie ordinate positive (x,y)

Per coppie ordinate, ho inteso che il primo è inferiore al secondo, e quindi non avevo considerato le simmetriche.

[xXStephXx]

Che io ne sappia, nelle coppie ordinate l'ordine degli elementi è influente.
Cioè $(a,b)$ e $(b,a)$ con $a!=b$ sono due coppie distinte.