Equazione
Per i meno esperti, risolvere l'equazione $30x^4 - 7x^3 - 110x^2 - 7x + 30 = 0$ senza usare Ruffini.
Risposte
Salve a tutti! L'equazione $30x^4 - 7x^3 - 110x^2 - 7x + 30 = 0$ è una reciproca di quarto grado di prima specie.
Dato che $x = 0$ non è soluzione dell'equazione si può dividere i due membri per x, ottenendo:
$30x^2 - 7x - 110 - 7/x + 30/x^2 = 0$
Raccogliendo a coefficenti uguali abbiamo:
$30*($x^2 + $1/x^2) - $7*($x + $1/x) - 110 = 0$ (1)
Assegniamo alla variabile $T il valore:
$T = x + 1/x$
Chiaramente elevando al quadrato T otteniamo:
$x^2 + 1/x^2 + 2 = T^2$
Da cui, portando al secondo membro 2 dal primo:
$x^2 + 1/x^2 = T^2 - 2$
Le equazioni cosi ottenute posso essere sostituite nella (1) e allora:
$30*($T^2 - $2) - $7*($T) - 110 = 0 $
Svolgendo i calcoli:
$30T^2 - 7T -170 = 0$
Otteniamo una banale equazione di secondo grado nella variabile T:
Risolvendo:
$T = (7 +- sqrt(49 + 24400) ) / 60$
Abbiamo due soluzioni $T1$ e $T2$ pari a:
$T1 = 5/2$
$T2 = 34/15$
Dato che $T1 = $x + $1/x e cje $T2 = $x + $1/x possiamo scrivere:
$5/2 = x + 1/x$
$34/15 = x + 1/x$
Svolgendo i calcoli otteniamo due equazioni di secondo grado nella variabile x:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
$15x^2 - 34x + 15 = 0$
Risolvendo infine le due equazioni abbiamo per la prima le due soluzioni reciproche:
$x1 = 2; x2 = 1/2$
E per la seconda:
$x3 = 3/5$; $x4 = 5/3$
Mi scuso per non aver messo alcuni passaggi perchè a questa ora della notte non ne ho voglia... Colgo l'occasione per salutare tutti gli utenti di matematicamente.net!
Enrico
Dato che $x = 0$ non è soluzione dell'equazione si può dividere i due membri per x, ottenendo:
$30x^2 - 7x - 110 - 7/x + 30/x^2 = 0$
Raccogliendo a coefficenti uguali abbiamo:
$30*($x^2 + $1/x^2) - $7*($x + $1/x) - 110 = 0$ (1)
Assegniamo alla variabile $T il valore:
$T = x + 1/x$
Chiaramente elevando al quadrato T otteniamo:
$x^2 + 1/x^2 + 2 = T^2$
Da cui, portando al secondo membro 2 dal primo:
$x^2 + 1/x^2 = T^2 - 2$
Le equazioni cosi ottenute posso essere sostituite nella (1) e allora:
$30*($T^2 - $2) - $7*($T) - 110 = 0 $
Svolgendo i calcoli:
$30T^2 - 7T -170 = 0$
Otteniamo una banale equazione di secondo grado nella variabile T:
Risolvendo:
$T = (7 +- sqrt(49 + 24400) ) / 60$
Abbiamo due soluzioni $T1$ e $T2$ pari a:
$T1 = 5/2$
$T2 = 34/15$
Dato che $T1 = $x + $1/x e cje $T2 = $x + $1/x possiamo scrivere:
$5/2 = x + 1/x$
$34/15 = x + 1/x$
Svolgendo i calcoli otteniamo due equazioni di secondo grado nella variabile x:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
$15x^2 - 34x + 15 = 0$
Risolvendo infine le due equazioni abbiamo per la prima le due soluzioni reciproche:
$x1 = 2; x2 = 1/2$
E per la seconda:
$x3 = 3/5$; $x4 = 5/3$
Mi scuso per non aver messo alcuni passaggi perchè a questa ora della notte non ne ho voglia... Colgo l'occasione per salutare tutti gli utenti di matematicamente.net!
Enrico
Il procedimento va bene, ma le ultime due soluzioni sono $-\frac{3}{5}$ e $-\frac{5}{3}$.
Si hai ragione... MI ero appisolato...
"Eudale":
Colgo l'occasione per salutare tutti gli utenti di matematicamente.net!
Salutiamo anche quelli di matematicamente.it?
PS: Benvenuto!
Ero appisolato per davvero... 
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