Ennagono

[Drazen77]

In questo ennagono regolare di lato unitario $\bar{AB}$ è una diagonale minore, $\bar{AC}$ è una diagonale maggiore.

Quanto misura la differenza tra queste due diagonali?

[axpgn]

$1$

[axpgn]

Ho fatto un giro un po' lungo …

Stacco sulla diagonale maggiore $FA$ un segmento pari alla diagonale minore $FJ=FH$
Il triangolo $HFJ$ è isoscele e la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$.
Quindi i due triangoli $FHM$ e $FJM$ sono congruenti e rettangoli e di conseguenza lo sono anche i triangoli $IMH$ e $IMJ$.
Perciò $IJ$ ha lunghezza unitaria e siccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradi, il triangolo $AIJ$ è equilatero e si conclude che il segmento $AJ=FA-FJ$ ha lunghezza unitaria.

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Perché dici di aver fatto un giro un po' lungo? Hai fatto il giro giusto.

[axpgn]

Beh, ho sintetizzato; se avessi dettagliato tutto sarebbe venuto "lunghetto"

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

L'idea chiave era appunto trovare il punto $J$ tale che... ecc, ecc, ecc... il che ci porta a dire che quel triangolo sia equilatero.

[MrDark82]

"axpgn":Ho fatto un giro un po' lungo …

Stacco sulla diagonale maggiore $FA$ un segmento pari alla diagonale minore $FJ=FH$
Il triangolo $HFJ$ è isoscele e la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$.
Quindi i due triangoli $FHM$ e $FJM$ sono congruenti e rettangoli e di conseguenza lo sono anche i triangoli $IMH$ e $IMJ$.
Perciò $IJ$ ha lunghezza unitaria e siccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradi, il triangolo $AIJ$ è equilatero e si conclude che il segmento $AJ=FA-FJ$ ha lunghezza unitaria.

Cordialmente, Alex

Scusate l'ignoranza, ma credo che le seguenti considerazioni vadano dimostrate...

la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$

siccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradisiccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradi

[axpgn]

Certo, come ho detto

"axpgn":Beh, ho sintetizzato; se avessi dettagliato tutto sarebbe venuto "lunghetto"

andrebbero dimostrate un po' di cose ...

"MrDark82":Scusate l'ignoranza, ma credo che le seguenti considerazioni vadano dimostrate...
1) la diagonale $ FI $ è bisettrice dell'angolo in $ F $
2) siccome l'angolo $ AIJ $ è di $ 60° $ gradi siccome l'angolo $ AIJ $ è di $ 60° $ gradi

Cominciamo dalla 1) … essendo un poligono regolare è inscrivibile in un cerchio perciò i suoi vertici si trovano sulla circonferenza, ne consegue che l'angolo formato da un vertice e due diagonali qualsiasi è un angolo alla circonferenza e pari alla metà del relativo angolo al centro.
In un ennagono regolare gli angoli al centro che insistono su un lato sono tutti uguali e valgono $360/9=40°$ e il relativo angolo alla circonferenza (come lo sono $H\hatFI$ e $J\hatFI$) vale $20°$, quindi $H\hatFI=J\hatFI$ e perciò $FI$ è bisettrice di $H\hatFJ$.

Per la 2) … partiamo da $H\hatFJ=40°$ da cui $J\hatHF=H\hatJF=140/2=70°$; poi $M$ punto medio di $HI$ perché bisettrice è mediana triangolo isoscele, inoltre $H\hatMI$ è retto; ne consegue che i triangoli $IMH$ e $IMJ$ sono congruenti (due lati e angolo compreso). Quindi $IJ=IH=IA=1$.
Proseguiamo … $140°=G\hatHI=G\hatHF+F\hatHJ+J\hatHI=20+70+J\hatHI$ quindi $J\hatHI=50°$
Ma $J\hatHI=H\hatJI=50°$ e di conseguenza $180°=F\hatJA=F\hatJH+H\hatJI+I\hatJA=70+50+I\hatJA$ da cui $I\hatJA=60°$.
Si conclude che un triangolo isoscele con angoli alla base di $60°$ è equilatero e quindi $JA=1$.

L'ho detto che era un po' lunghetto …

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

[quote=axpgn] [..] Il triangolo $HFJ$ è isoscele e la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$.[...] Il triangolo $HFJ$ è isoscele "per costruzione ... ma perché dici gratuitamente che " la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$" ?
[Si verifica facilmente che è vero! Ma bisogna pur farlo, perché NON è IMMEDIATO!
Ciao Alex
Ciao a tutti
________




P.S.
Questa proprietà dell'ennagono regolare – a me ignota fino a ieri mattina – era il contenuto del quiz [che ho letto ieri mattina in "Rudi Mathematici" (sezione del di Coelestis, il sito degli astronomi dilettanti, "postato" là da da aspesi [che qualche volta ha scritto anche qua (con l'username "nino")].
Io ne ho dato una dimostrazione per via analiticaq... ricavando prima trigonometricamente l'espressione della differenza delle diagonali "lunga" e "coeta" (dopo aver assunto unitario il lato) . Insomma: occorreva mostrare che quell'espressione valeva 1 (anche senza conoscere seno e coaseno di particolari angoli (di 10 o 20 gradi).
Beh: visto che ci siamo ... e che il moderatore non ha ancora cancellato il mio "post" da "Scervelliamoci un po'", torno là e modifico il quiz.
A ri-ciao!

[axpgn]

@Erasmus
Se avessi letto tutta la discussione, avresti già avuto la risposta alla tua domanda
Sai meglio di me che talvolta non si ha il tempo per un post lungo e dettagliato quindi prima ho dato la risposta e poi una dimostrazione "sintetica" come detto anche qui

"axpgn":Beh, ho sintetizzato; se avessi dettagliato tutto sarebbe venuto "lunghetto"

Infine ho precisato un paio di punti tra cui proprio quello relativo alla bisettrice

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":@Erasmus
Se avessi letto tutta la discussione, avresti già avuto la risposta alla tua domanda

Ma che dici?
a) Ho postato senza sapere che esisteva questo topic "ennagono" in questa sezione.
Ed ewro entrato pensando alla soluzione trigonometrica, non alla geometrica.
b) Sei intervenuto subito tu a dirmi, giustamente, che c'ewra già quel quiz. Son venuto a vedere ed ho visto la tua risposta (UNICA!), E l'ho commentata. Poi, proprio perché pensavo alla soluzione trigonometrica, sono tornato e ho messo quella variante.
c) La soluzione analitica (con le funzioni circolari) nion ha nulla a che vedere con la tua (bella!) soluzione geonmetrica! E quindi ...continuo a non capire l'osservazione che mi fai!
d) Vedo che è sparito il mio topic (là dove l'ho messo e dove anche tu mi hai risposto risolvendo tu pure la variante al quiz). Perché è stato cancellato? Forse sarebbe stato giusto "spostare" qui la mia variante e quindi la tua e la mia soluzione alla variante, dato che erano soluzioni anche del quiz che sta qua (ma appunto per via analitica invece che euclidea).
e) Mi pare SBAGLIATO cancellare un "thread" senza nemmeno avvertire l'autore. [img]
[Scusa lo sfogo. Non sei tu il moderatore ,,, e sei innocente! Anzi: ti considero un amico! Ma non vedo altri intervenuti, per cui parlo con te!
Insisto (sperando che mi legga un qualche moderatore). Il mio ultimo intervento– là in "Pensare un po' di più" – NON ERA DA CANCELLARE!
––––––

[axpgn]

@Erasmus
Calma, non è necessario inalberarsi

Nel tuo primo intervento in questa discussione hai scritto:

"Erasmus_First": ... ma perché dici gratuitamente che " la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$" ?
[Si verifica facilmente che è vero! Ma bisogna pur farlo, perché NON è IMMEDIATO!

E difatti la dimostrazione l'ho data, come scritto qui sotto, in un post precedente al tuo (come puoi facilmente verificare)

"axpgn":1) la diagonale $ FI $ è bisettrice dell'angolo in $ F $

Cominciamo dalla 1) … essendo un poligono regolare è inscrivibile in un cerchio perciò i suoi vertici si trovano sulla circonferenza, ne consegue che l'angolo formato da un vertice e due diagonali qualsiasi è un angolo alla circonferenza e pari alla metà del relativo angolo al centro.
In un ennagono regolare gli angoli al centro che insistono su un lato sono tutti uguali e valgono $360/9=40°$ e il relativo angolo alla circonferenza (come lo sono $H\hatFI$ e $J\hatFI$) vale $20°$, quindi $H\hatFI=J\hatFI$ e perciò $FI$ è bisettrice di $H\hatFJ$.

A questo mi riferivo quando ho scritto "se avessi letto tutto …", non alla tua soluzione (che mi piace ); ok?

Riguardo al post "sparito" nell'altro thread, io ti garantisco che non ne ho visto altri oltre a quelli ma ciò non implica che tu non l'abbia postato … non so, si dovrebbe chiedere ai moderatori …

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

@Alex La parte in "spoiler" l'ho scritta ter te solo!

@ Alex
1) Ma ... non mi sono affatto "inalberato"!
[Per inciso: nella tua "dimostrazione" io – famoso in Rudi Mathematici per essere "prolisso" e anche "pedante" – avrei precisato che gli angoli HFI e IFA sono entrambi di ampiezza π/9 (=20°) in quanto angoli alla circonferenza sottesi a corde uguali – lati dell'ennagono regolare – di angolo al centro (2π)/9 (=40°).]
2) Quando ho scritto la prima "oassrvazione" non avevo letto (non potevo aver letto!) la tua "spiegazione" (che hai messo mentre già io avevo aperto la finestra di scrittura. Sono anche maledettamente lento, per cui tu hai inviato nettamente prima di me ... ma io non potevo ancora leggere il tuo secondo 'post'
3) Mi pareva – e ad essere sincero ancora mi pare che debba parere ad ogni lettore! – che quando hai detto "se avessi letto tutta la discussione ecc. " ti riferissi alla risposta che ho forzato essere qualla della vriante al quiz (dopo che mi hai segnalato che il quiz era già stato "postato" in "Giochi matematici").
Alex: può succedere un equivoco, no? Allora è anche scusabile chi, equivocando, segnala qualcosa che magari non è ofggettivo. Ma ... de hoc satis!
Alex: non potrei "inalberarmi" in dialogo con te che – non te l'ho ancora detto e te lo dico adesso – considero il più "simpatico" tra quanti ho incontrato qui in "matematicamente.it".

 Oops! Chiedo scusa!
Nel precedente mio intervento ho scritto che mi è stato cancellato un "thread".
Vedo solo adesso che quanto credevo cancellato sta invece in bella mostra nella sezione "Scervelliamoci un po'".
Nel precedente mio "post" mi sono lamentato della cancellazioone perché ero sicuro – cioè: mi sentivo sicuro! – di aver "postato" nella sezione "Pensare un po' di più"; ed è là che, tornando, ho cercato invato il "topic" "Problemino sull'ennagono regolare".
Forse avevo invece postato in "Scervelliamoci un po'"; oppure qualche moderatore ha spostato il thread (e giustamente, perché il livello del "problemino" è di scuola "preuniversitaria".
Nel chiedere scusa mi attribuisco l'attenuante della "senilità" e prometto di fare maggiore attenzione in futuro (che probabilmente sarà breve, data appunto la raggiunta ,ia "senilità"!)
Grazie per la "comprensione"!

Ciao Alex!
Ciao a tutti gli eventuali lettori.
––––––––

[axpgn]

@Erasmus
[ot]"Inalberato" è la prima parola che mi è venuta in mente, chissà perché visto che non credo la usi più nessuno da tempo … (forse influenzato dal tuo stile? ); mi sembrava che te la fossi presa abbastanza per quel "se avessi letto tutto" ma io mi riferivo solo alla tua domanda di chiarimento relativo alla bisettrice, però capisco di essere stato troppo sintetico mi spiace di averti fatto arrabbiare

Comunque, tanto per essere pedante anch'io , è vero che il tuo post è successivo al mio per tre minuti … più due giorni però ... scherzo, eh! [/ot]

Cordialmente, Alex