Enigma Equazione
`sum_(k=Kmax)^oo((lambda/mu)^k)/(k!)e^(-lambda/mu) = 0
Ricavare il rapporto 'lambda/mu
con Kmax costante
Ricavare il rapporto 'lambda/mu
con Kmax costante
Risposte
Per semplicita' di scrittura poniamo:
$lambda/mu=t,k_max=m$
Poiche' $e^(-(lambda)/(mu))$ non dipende da k e non e' mai zero per valori finiti dell'esponente ,
l'equazione si puo' scrivere cosi':
$\sum_(k=m)^oo(t^k)/(k!)=0$
A meno di una particolare generalizzazione del fattoriale ,m si puo'
considerare un intero non negativo e distinguiamo due casi.
1) m=0
Allora la precedente relazione equivale a: $e^t=0$ che e' impossibile per t finito.
2) m>0
Allora l'equazione di scrive:
$e^t=1+t/(1!)+(t^2)/(2!)+(t^3)/(3!)+...+t^(m-1)/((m-1)!)$
che ha la sola soluzione t=0 ovvero $(lambda)/(mu)=0$
Almeno cosi' mi pare.
karl
$lambda/mu=t,k_max=m$
Poiche' $e^(-(lambda)/(mu))$ non dipende da k e non e' mai zero per valori finiti dell'esponente ,
l'equazione si puo' scrivere cosi':
$\sum_(k=m)^oo(t^k)/(k!)=0$
A meno di una particolare generalizzazione del fattoriale ,m si puo'
considerare un intero non negativo e distinguiamo due casi.
1) m=0
Allora la precedente relazione equivale a: $e^t=0$ che e' impossibile per t finito.
2) m>0
Allora l'equazione di scrive:
$e^t=1+t/(1!)+(t^2)/(2!)+(t^3)/(3!)+...+t^(m-1)/((m-1)!)$
che ha la sola soluzione t=0 ovvero $(lambda)/(mu)=0$
Almeno cosi' mi pare.
karl
Grazie della risposta, credo che questo però non mi aiuti a risolvere il mio problema. Mi spiego meglio.
L'espressione
`sum_(k=Kmax)^oo((lambda/mu)^k)/(k!)e^(-lambda/mu)
è una sommatoria di probabilità di una distribuzione di poisson da un certo indice in poi, cioè la sommatoria delle probabilità di trovarmi negli stati kmax,kmax+1,kmax+2,....
Il mio scopo è quello di rendere minima la probabilità di trovarmi in tali stati e dunque di minimizzare la sommatoria delle probabilità da kmax in poi.
La mia imposizione di uguaglianza a zero, vista la tua corretta soluzione, non mi da informazioni sul parametro lambda/mu e quindi è sbagliata. Ponendo invece la seguente
`sum_(k=Kmax)^oo((lambda/mu)^k)/(k!)e^(-lambda/mu) <= P
con P valore di probabilità piccolo, supponiamo 0,01 come la potrei risolvere?
L'espressione
`sum_(k=Kmax)^oo((lambda/mu)^k)/(k!)e^(-lambda/mu)
è una sommatoria di probabilità di una distribuzione di poisson da un certo indice in poi, cioè la sommatoria delle probabilità di trovarmi negli stati kmax,kmax+1,kmax+2,....
Il mio scopo è quello di rendere minima la probabilità di trovarmi in tali stati e dunque di minimizzare la sommatoria delle probabilità da kmax in poi.
La mia imposizione di uguaglianza a zero, vista la tua corretta soluzione, non mi da informazioni sul parametro lambda/mu e quindi è sbagliata. Ponendo invece la seguente
`sum_(k=Kmax)^oo((lambda/mu)^k)/(k!)e^(-lambda/mu) <= P
con P valore di probabilità piccolo, supponiamo 0,01 come la potrei risolvere?
Dal punto di vista puramente matematico si tratta di risolvere
la disequazione trascendente:
$e^(-t) cdot [e^t-1-t-(t^2)/(2!)-t^3/(3!)-...-(t^(m-1))/((m-1)!)]<=P$
Il metodo di risoluzione ,a mio parere, puo' essere solo grafico e precisamente
si tratta di intersecare il diagramma della funzione a primo membro (tracciato
con qualche software) con la retta y=P e vedere quali sono il valori di t (ovvero di
$(lambda)/(mu)$) per i quali tale retta resta al disopra del suddetto diagramma.
Nel caso di P=0.01 ho trovato che i valori di t richiesti devono cadere nell'intervallo
]0,0.8266[
Tanto e' quello che riesco a stabilire.
karl
la disequazione trascendente:
$e^(-t) cdot [e^t-1-t-(t^2)/(2!)-t^3/(3!)-...-(t^(m-1))/((m-1)!)]<=P$
Il metodo di risoluzione ,a mio parere, puo' essere solo grafico e precisamente
si tratta di intersecare il diagramma della funzione a primo membro (tracciato
con qualche software) con la retta y=P e vedere quali sono il valori di t (ovvero di
$(lambda)/(mu)$) per i quali tale retta resta al disopra del suddetto diagramma.
Nel caso di P=0.01 ho trovato che i valori di t richiesti devono cadere nell'intervallo
]0,0.8266[
Tanto e' quello che riesco a stabilire.
karl
grazie delle tue risposte,
ma i valori di t non dovrebbero comunque essere dipendenti da m?
Aldo
ma i valori di t non dovrebbero comunque essere dipendenti da m?
Aldo
Mi sono dimenticato di aggiungere che ho scelto P=0.01 ed m=kmax=4
Naturalmente ,come dici te,i valori di t cambiano al variare di m oltre che di P.
karl
Naturalmente ,come dici te,i valori di t cambiano al variare di m oltre che di P.
karl
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