Ellisse di area massima
Qual è l'equazione dell'ellisse inscritta nel triangolo di vertici (0,0) , (1,0) e (0,2) che delimita una regione di area massima?
Risposte
[size=150]$4x^2+2xy+y^2-4x-2y+1=0$[/size]
Speriamo sia giusto.In ogni caso complimenti a Pieragalli
per i suoi quesiti che non sono mai esclusivi
e permettono a tutti (o quasi ) di partecipare.Non e' vero?
Archimede
Speriamo sia giusto.In ogni caso complimenti a Pieragalli
per i suoi quesiti che non sono mai esclusivi
e permettono a tutti (o quasi ) di partecipare.Non e' vero?
Archimede
Il risultato è corretto. Essa è l'ellisse interna di Steiner il cui centro coincide con il baricentro del triangolo ed è tangente ai lati del triangolo nel loro punto medio. La sua area è:
$A=sqrt3/9pi*S=0,6046$
dove S è l'area del triangolo.
$A=sqrt3/9pi*S=0,6046$
dove S è l'area del triangolo.
Non so se interessa, ma vorrei riferire il modo con cui s'e' ottenuto
i risultati riportati da me e Mamo.
In primis e' chiaro (ma si puo' dimostrare) che l'ellisse massima inscritta
in un triangolo equilatero e' il cerchio inscritto i cui raggio ed area sono
$r=(L*sqrt3)/6,S=pi*r^2=(piL^2)/(12)$ (L =lato del triangolo in questione)
Consideriamo ora l'affinita' che porta i punti (0,0) e (1,0) in se'
[punti uniti,l'asse x =retta di punti uniti] ed il punto (0,2) in $(1/2,(sqrt3)/2)$
terzo vertice del triangolo equilatero (di lato =1) che ha gli altri due vertici in
(0,0) e (1,0) appunto.
Poiche' l'asse x e' retta di punti uniti,le equazioni di tale affinita' sono del tipo:
x'=x+ay,y'=by
Imponendo la corrispondenza $(0,2)->(1/2,(sqrt3)/2)$ ,risulta:
$x'=x+1/4y,y'=(sqrt3)/4y$
con la costante di affinita' pari a: $sigma=det((1,1/4),(0,sqrt3/4))=sqrt3/4$
Ricordando che l'affinita' conserva il punto medio e che il rapporto delle aree di
figure corrispondenti e' $sigma$,segue che il cerchio inscritto nel triangolo
equilatero e' il corrispondente dell'ellisse che tocca il triangolo rettangolo nei
punti medi dei lati di quest'ultimo e che:
Area(cerchio)/Area(ellisse)=$sigma=sqrt3/4$
Pertanto ,essendo Area(cerchio)=$(pi*1^2)/12$, si ha:
Area(ellisse)=$4/(sqrt3)*$Area(cerchio)=$(pi*sqrt3)/9$
L'equazione di tale ellisse la si puo' ottenere poi,mediante l'affinita' , come
trasformata della circonferenza i cui centro e raggio sono:
$C(1/2,(sqrt3)/6),r=(sqrt3)/6$e quindi:
$(x'-1/2)^2+(y'-(sqrt3)/6)^2=1/(12)$
Da cui,passando alle coordinate (x,y),si ricava:
$(x+1/4y-1/2)^2+((sqrt3)/4y-(sqrt3)/6)^2=1/(12)$ ,la quale sviluppata porta a:
$4x^2+2xy+y^2-4x-2y+1=0$
Archimede
i risultati riportati da me e Mamo.
In primis e' chiaro (ma si puo' dimostrare) che l'ellisse massima inscritta
in un triangolo equilatero e' il cerchio inscritto i cui raggio ed area sono
$r=(L*sqrt3)/6,S=pi*r^2=(piL^2)/(12)$ (L =lato del triangolo in questione)
Consideriamo ora l'affinita' che porta i punti (0,0) e (1,0) in se'
[punti uniti,l'asse x =retta di punti uniti] ed il punto (0,2) in $(1/2,(sqrt3)/2)$
terzo vertice del triangolo equilatero (di lato =1) che ha gli altri due vertici in
(0,0) e (1,0) appunto.
Poiche' l'asse x e' retta di punti uniti,le equazioni di tale affinita' sono del tipo:
x'=x+ay,y'=by
Imponendo la corrispondenza $(0,2)->(1/2,(sqrt3)/2)$ ,risulta:
$x'=x+1/4y,y'=(sqrt3)/4y$
con la costante di affinita' pari a: $sigma=det((1,1/4),(0,sqrt3/4))=sqrt3/4$
Ricordando che l'affinita' conserva il punto medio e che il rapporto delle aree di
figure corrispondenti e' $sigma$,segue che il cerchio inscritto nel triangolo
equilatero e' il corrispondente dell'ellisse che tocca il triangolo rettangolo nei
punti medi dei lati di quest'ultimo e che:
Area(cerchio)/Area(ellisse)=$sigma=sqrt3/4$
Pertanto ,essendo Area(cerchio)=$(pi*1^2)/12$, si ha:
Area(ellisse)=$4/(sqrt3)*$Area(cerchio)=$(pi*sqrt3)/9$
L'equazione di tale ellisse la si puo' ottenere poi,mediante l'affinita' , come
trasformata della circonferenza i cui centro e raggio sono:
$C(1/2,(sqrt3)/6),r=(sqrt3)/6$e quindi:
$(x'-1/2)^2+(y'-(sqrt3)/6)^2=1/(12)$
Da cui,passando alle coordinate (x,y),si ricava:
$(x+1/4y-1/2)^2+((sqrt3)/4y-(sqrt3)/6)^2=1/(12)$ ,la quale sviluppata porta a:
$4x^2+2xy+y^2-4x-2y+1=0$
Archimede
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