E' possibile ricongiungersi?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Due amati (Alice e Bob) si trovano ai lati opposti di una foresta magica che taglia in due il mondo. I due amati vogliono ricongiungersi dopo anni di separazione.

La foresta è troppo pericolosa da attraversare (all'interno si trova la strega Alberta che può catturarvi e obbligarvi a fare problemi di fisica per l'eternità).

Fortunatamente esistono due piattaforme di teletrasporto (una per lato della foresta). Le due piattaforme funzionano solamente se entrambe le persone ai lati salgono su di esse esattamente nello stesso momento.
Se questo non è il caso allora le piattaforme esplodono rendendo impossibile ricongiungersi. Le piattaforme sono dotate di orologi atomici sincronizzati.

Avete a disposizione una quantità infinità di nanetti che potete inviare attraverso la foresta, ai quali potete dare un messaggio da dare all'altra persona.

I nanetti hanno una probabilità $0
Trovare un modo per mettersi d'accordo con certezza assoluta sul orario oppure dimostrare che è impossibile.

[gabriella127]

"3m0o":

[...]Avete a disposizione una quantità infinità di nanetti che potete inviare attraverso la foresta, ai quali potete dare un messaggio da dare all'altra persona.

I nanetti hanno una probabilità $0
Trovare un modo per mettersi d'accordo con certezza assoluta sul orario oppure dimostrare che è impossibile.

Be', la prima cosa da chiedersi è se si può avere la certezza assoluta che qualche nanetto arrivi a destinazione, se nessuno arriva a destinazione perché tutti catturati dalla strega inutile chiedersi che messaggi inviare.
Quindi chiederei: il numero $n$ di nanetti inviati deve essere considerato finito in ogni istante, per quanto possa essere fatto diventare grande quanto si voglia? (caso mai perché la vita delle persone è finita).
O, come credo di capire, deve essere considerato infinito?

Nel primo caso, $n$ finito, è evidente che non ci può essere la certezza assoluta che qualche nanetto arrivi, visto che la probabilità che non ne arrivi nessuno può essere sì molto piccola, ma non zero.
Nel secondo caso bisogna imbarcarsi in ragionamenti teorici più sofisticati che riguardano la convergenza, come le leggi dei grandi numeri.
La legge debole dei grandi numeri, che io ricordi dalle rimembranze di probabilità, non esclude che ci possano essere anche scarti molto grandi della frequenza relativa dalla probabilità, comunque ci possono essere scarti 'eccezionali', quindi anche $0$ nanetti arrivati, con la legge forte è diverso, ma comunque si parla sempre di 'quasi certezza', mai di certezza assoluta.
[ot]

"3m0o":all'interno si trova la strega Alberta che può catturarvi e obbligarvi a fare problemi di fisica per l'eternità.

Non è abbastanza sadica, dovrebbe obbligarli a fare esercizi di ragioneria.[/ot]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Si, anche se avevo in mente altro che non tirasse in ballo le probabilità

E' chiaro che per mettersi d'accordo sul tempo, deve esistere un tempo $T$ finito tale per cui sia $A$ che $B$ possiedono la medesima informazione: ovvero l'orario in cui salire sulle piattaforme e l'informazione che l'altra persona sappia anch'essa l'orario. Dimostriamo che $T$ non può esistere. Ovviamente possiamo assumere che ciascun nanetto impieghi almeno \( \epsilon >0 \) tempo per attraversare la foresta nel caso che non venga catturato da Alberta.
Supponiamo che al tempo $t_0 $, $A$ manda un messaggio $m$. Per ogni tempo $t_0\leq t < t_1 $ tale che $B$ non ha ricevuto $m$ chiaramente non possono mettersi d'accordo. Assumiamo che dopo $n_1$ nanetti al tempo \(t_1=t_0 + n_1 \epsilon \) abbiamo che $B$ riceve il messaggio allora a partire dal tempo $ t_1 \leq t < t_2 $ abbiamo che $B$ conosce il messaggio, ma $A$ non conosce l'informazione che $B$ lo abbia ricevuto pertanto $B$ deve inviare un messaggio per confermare ad $A$ di aver ricevuto il suo messaggio. A questo punto per simmetria i ruoli di $A$ e $B$ si invertono. Al tempo \(t_2 = t_0+n_1 \epsilon + n_2 \epsilon \) abbiamo che $A$ sa che $B$ ha ricevuto il messaggio $m$, ma adesso è $B$ a non sapere che $A$ ha ricevuto la sua conferma. Pertanto $A$ deve inviare conferma a $B$. Questo ragionamento si può ripetere per dimostrare che in ogni istante finito $t \geq t_0$ le informazioni che $A$ e $B$ dispongono sono "asimmetriche", i.e. $A$ oppure $B$ avrà un informazione che $B$ oppure $A$ non possiede.

[gabriella127]

"3m0o":Si, anche se avevo in mente altro che non tirasse in ballo le probabilità

E' chiaro che per mettersi d'accordo sul tempo, deve esistere un tempo $ T $ finito tale per cui sia $ A $ che $ B $ possiedono la medesima informazione: ovvero l'orario in cui salire sulle piattaforme e l'informazione che l'altra persona sappia anch'essa l'orario. Dimostriamo che $ T $ non può esistere. Ovviamente possiamo assumere che ciascun nanetto impieghi almeno \( \epsilon >0 \) tempo per attraversare la foresta nel caso che non venga catturato da Alberta.
Supponiamo che al tempo $ t_0 $, $ A $ manda un messaggio $ m $. Per ogni tempo $ t_0\leq t < t_1 $ tale che $ B $ non ha ricevuto $ m $ chiaramente non possono mettersi d'accordo. Assumiamo che dopo $ n_1 $ nanetti al tempo \( t_1=t_0 + n_1 \epsilon \) abbiamo che $ B $ riceve il messaggio allora a partire dal tempo $ t_1 \leq t < t_2 $ abbiamo che $ B $ conosce il messaggio, ma $ A $ non conosce l'informazione che $ B $ lo abbia ricevuto pertanto $ B $ deve inviare un messaggio per confermare ad $ A $ di aver ricevuto il suo messaggio. A questo punto per simmetria i ruoli di $ A $ e $ B $ si invertono. Al tempo \( t_2 = t_0+n_1 \epsilon + n_2 \epsilon \) abbiamo che $ A $ sa che $ B $ ha ricevuto il messaggio $ m $, ma adesso è $ B $ a non sapere che $ A $ ha ricevuto la sua conferma. Pertanto $ A $ deve inviare conferma a $ B $. Questo ragionamento si può ripetere per dimostrare che in ogni istante finito $ t \geq t_0 $ le informazioni che $ A $ e $ B $ dispongono sono "asimmetriche", i.e. $ A $ oppure $ B $ avrà un informazione che $ B $ oppure $ A $ non possiede.

Molto bello!
Quindi la probabilità $0

Cita

Segnala

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"gabriella127":[quote="3m0o"]Si, anche se avevo in mente altro che non tirasse in ballo le probabilità

E' chiaro che per mettersi d'accordo sul tempo, deve esistere un tempo $ T $ finito tale per cui sia $ A $ che $ B $ possiedono la medesima informazione: ovvero l'orario in cui salire sulle piattaforme e l'informazione che l'altra persona sappia anch'essa l'orario. Dimostriamo che $ T $ non può esistere. Ovviamente possiamo assumere che ciascun nanetto impieghi almeno \( \epsilon >0 \) tempo per attraversare la foresta nel caso che non venga catturato da Alberta.
Supponiamo che al tempo $ t_0 $, $ A $ manda un messaggio $ m $. Per ogni tempo $ t_0\leq t < t_1 $ tale che $ B $ non ha ricevuto $ m $ chiaramente non possono mettersi d'accordo. Assumiamo che dopo $ n_1 $ nanetti al tempo \( t_1=t_0 + n_1 \epsilon \) abbiamo che $ B $ riceve il messaggio allora a partire dal tempo $ t_1 \leq t < t_2 $ abbiamo che $ B $ conosce il messaggio, ma $ A $ non conosce l'informazione che $ B $ lo abbia ricevuto pertanto $ B $ deve inviare un messaggio per confermare ad $ A $ di aver ricevuto il suo messaggio. A questo punto per simmetria i ruoli di $ A $ e $ B $ si invertono. Al tempo \( t_2 = t_0+n_1 \epsilon + n_2 \epsilon \) abbiamo che $ A $ sa che $ B $ ha ricevuto il messaggio $ m $, ma adesso è $ B $ a non sapere che $ A $ ha ricevuto la sua conferma. Pertanto $ A $ deve inviare conferma a $ B $. Questo ragionamento si può ripetere per dimostrare che in ogni istante finito $ t \geq t_0 $ le informazioni che $ A $ e $ B $ dispongono sono "asimmetriche", i.e. $ A $ oppure $ B $ avrà un informazione che $ B $ oppure $ A $ non possiede.

Molto bello!
Quindi la probabilità $0

[/quote]
Esatto! Questo indovinello lo ha creato un mio amico ispirandosi al famoso Two Generals' Problem che illustra l' impossibilità di coordinare un'azione comunicando su un canale inaffidabile.

Cita

Segnala