Due radici intere

[FreddyKruger]

Stabilire per quali coppie di numeri primi (positivi) $p,q$ il polinomio $f(x)=x^2−(7q+1)x+2p$ ha due radici intere.

[PZf]

Dette $n_1$ e $n_2$ le due radici del polinomio, vale l'uguaglianza $f(x)=x^2-(n_1+n_2)x+n_1n_2$ e, per il principio di identità fra polinomi, deve essere $n_1n_2=2p$.
Le uniche due possibilità con $n_1$ e $n_2$ intere sono $n_1=1,n_2=2p$ e $n_1=2,n_2=p$ (ce ne sono altre due, ma sono equivalenti a queste).
Nel primo caso da $n_1+n_2=7q+1$ segue $2p+1=7q+1$ cioè $2p=7q$ quindi $q$ deve essere un primo pari, cioè $q=2$, e quindi $p=7$.
Nel secondo caso si ottiene $p+2=7q+1$ quindi $p=7q-1$. Se $q=2$ si ottiene $p=13$, se invece $q$ è dispari allora $p$ deve essere pari, quindi $p=2$, ma ciò non genera una soluzione accettabile per $q$.

In conclusione $q=2$ e $p\in{7,13}$.

[YeanlingWaif7]

Esiste un'altra possibile coppia $(p,q)$ . Trovato $q=2$ (come fatto da PZf) lo sostituisci all'espressione ottenendo $x^2 - 15x + 2p$. Applichi la formula del delta ottenendo $Delta = 225 - 8p$. Affinchè le radici siano intere, $Delta$ deve essere un quadrato perfetto quindi poniamo $225 - 8p = k^{2}$ da cui $8p = 225 - k^{2}$ ossia $8p = (15-k)(15+k)$. $8p$ si può scrivere come prodotto di due fattori e tutte le possibili coppie di questi fattori sono $(1,8p) (2,4p) (4,2p) (8,p) (p,8) (2p,4) (4p,2) (8p,1)$. Provandole tutte vengono 8 sistemi di cui due impossibili, due danno $p=7$, due danno $p=13$ e negli altri due ponendo $(15-k)=p$ e $(15+k)=8$ ottieni $k=-7$ e $p=22$. Stesso risultato se poni $(15-k)=8$ e $(15+k)=p$. Se sostituisci $p=22$ all'espressione iniziale ottieni $x^2 - 15x + 44$ con $Delta = 225 - 8p = 225 - 176 = 49$. Le soluzioni verranno $x=4$ o $x=11$
Pertanto le coppie $(p,q)$ possibili sono $(7,2)$, $(13,2)$ trovate già da PZf e $(22,2)$

[FreddyKruger]

SI ma entrambi i numeri devono essere primi, 22 non è primo.

[YeanlingWaif7]

Scusa non me ne sono accorto. Colpa mia xD Hai ragione. Non avevo letto bene la consegna