Due polinomi da tor vergata

[FreddyKruger]

1-Sia dato il polinomio $p(x, y) = x^8 + y^8 + 2x^2y^6 + 2x^6y^2 + 3x^4y^4$. Trovare il più grande numero primo che divide $p(17, 13)$.

2-Del polinomio a coefficienti interi $p(x)$ sappiamo che $p(1) = 3$ e $p(2) = 7$. Qual è il più piccolo valore positivo che può assumere $p(2014)$?

Edit: corretti gli esponenti sul primo esercizio

[Studente Anonimo]

"FreddyKruger":
2-Del polinomio a coefficienti interi $p(x)$ sappiamo che $p(1) = 3$ e $p(2) = 7$. Qual è il più piccolo valore positivo che può assumere $p(2014)$?

Edit

Sei sicuro che esiste un più piccolo? A naso ti direi di no.
Prendi \( (1,3), (2,7), ( 2014, y_3 ), (x_4,y_4) , \ldots ,( x_n,y_n ) \) con \((x_i,y_i) \in \mathbb{Z}^2 \) interi. E \(y_3 \) un intero piccolo a piacere. Allora
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1^2 & \cdots & 1^{n-1} \\
1 & 2 & 2^2 & \cdots & 2^{n-1} \\
1 & 2014 & 2014^2 & \cdots & 2014^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_{n-1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix} \]
determina un polinomio
\[ p(X)=c_0 + c_1 X + \ldots + c_{n-1} X^{n-1} \]
e passate per \( p(1)=3 \) e \(p(2)=7\) e \(p(2014) \) piccolo a piacere. Quindi non c'è un minimo.

LOL dev'essere positivo. Ho sbagliato.

[axpgn]

"FreddyKruger":Edit: corretti gli esponenti sul primo esercizio

Ed io che avevo trovato quello del polinomio precedente

Comunque questo è $97$

Cordialmente, Alex

[FreddyKruger]

Yes, a questo punto vogliamo il procedimento.

[axpgn]

In due modi ...

Prima ho semplicemente diviso il valore del polinomio per ogni primo, confidando nel fatto che non potesse essere "troppo" grande (supponendo che fosse un esercizio di qualche test) ed infatti non c'è voluto molto.

Nel secondo modo ho scomposto il polinomio in $(x^2+xy+y^2)^2(x^2-xy+y^2)^2$ ovvero $679*237$.

Cordialmente, Alex

[Raffa20001]

Per il secondo:

Troviamo dopo pochi conti che il polinomio $p(x)$ è della forma $q(x)+4x-1$, da qui sostituendo la $x$ con $2014$ avremo che il numero cercato è $8055$.

[Raffa20001]

Per il secondo, si nota facilmente che il polinomio $p(x)$ è della forma $q(x)+4x-1$, da qui il valore cercato è uguale a $8055$

[hydro1]

"zimmerusky":Per il secondo, si nota facilmente che il polinomio $p(x)$ è della forma $q(x)+4x-1$, da qui il valore cercato è uguale a $8055$

E perchè? non potrebbe essere che esiste $q$ con $q(2014)=-8054$ ad esempio?

[Raffa20001]

Ho saltato un pezzo mentre scrivevo, intendevo che $p(x)$ è della forma $q(x)(x-1)(x-2)+4x-1$, chiaramente il polinomio che ho scritto sopra non rispetta tutte le condizioni del testo.