Draghi

[axpgn]

Un artista dipinge due draghi identici su due dischi di carta circolari identici.
Nel primo di essi un occhio del drago coincide con il centro del disco, nel secondo no.

Provare che il secondo disco può essere tagliato in due pezzi che si possono ricomporre in un disco dallo stesso raggio, contenente lo stesso drago ma in modo tale che ora l'occhio del drago coincida con il centro del nuovo disco.


Cordialmente, Alex

P.S.: che v'aspettavate?

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Ci sto pensando da un po' di giorni, ma a dire il vero non mi vengono idee particolarmente intelligenti. Cioè non vedo troppo come fare a dire il vero.
Siccome dev'essere per forza una traslazione dell'altro drago pensavo di usare questo fatto in qualche modo ma non riesco a capire ancora troppo bene come. Forse sovrapponendo l'altro cerchio. Diciamo che il drago con l'occhio al centro è blu e quello con l'occhio non al centro è rosso.
Sicuramente possiamo mettere i due cerchi in un modo tale che traslando il blu otteniamo il rosso (immaginando di poterlo muovere), immaginiamo che vi sia nel disco con quello rosso anche il blu, e coloriamo tutta la traslazione (lo spostamento che fa) ritagliamo tutta questa cosa. Ma qui mi blocco. Ruotando in qualche modo questo pezzo dovrei riuscire in qualche modo a ricomporlo con il cerchio (forse ruotandolo rispetto all'asse uscente dal piano in cui è immerso il cerchio)... ma non saprei.

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Dovrebbe funzionare.
Stessa idea di prima, ma invece che mettere i cerchi in modo che dal primo al secondo vi sia solo una traslazione. Dal primo (quello blu con l'occhio al centro) per trasformarlo nel secondo, dobbiamo prima applicare una rotazione di \( \pi \) sul piano del cerchio e poi la stessa traslazione. In questo modo tagliando possiamo ruotare il pezzo di \(\pi \) sul asse uscente dal piano del cerchio prima di incollarlo nuovamente nel cerchio e ottenere il drago rosso con il l'occhio rosso sull'altro lato del cerchio. Non so se mi sono spiegato bene, dubito. Ma io ho capito.

[gabriella127]

Un'idea notturna, ma nei fumi del sonno mi pare che funzioni. Sono incapace di dirla a parole, metto discutibile disegnino fatto con un Paintbrush moolto rudimentale. Forse somiglia a quello che dice 3m0o, se ne avessi capito qualcosa...

Nota1 Si taglia uno spicchio di cerchio in modo che Il taglio sotto il centro è fatto a una distanza dal centro pari alla distanza dell'occhio del drago dalla circonferenza
Nota2 importante Il drago non può strasbordare oltre il centro, altrimenti nel primo cerchio, in cui ha l'occhio al centro, non entrerebbe nel cerchio; cioè, il drago non può essere troppo grande.
Nota3 Ovviamente quello del disegno è solo un esempio, per altre posizioni del drago si fa una cosa analoga

[axpgn]

"3m0o":... Ma io ho capito.

Beato te che capisci!

Ci girate intorno ma ancora non ci siete ... per esempio, le dimensioni dei draghi non sono "limitate", basta che siano identici.

Comunque, bello il disegnino di gabriella


Cordialmente, Alex

[veciorik]

Sovrappongo parzialmente i due dischi in modo che i due draghi coincidano perfettamente.
Ritaglio dal secondo disco la lunetta esterna al drago e al primo disco.
Riposiziono la lunetta tagliata in modo che ricopra l'altra lunetta.
Ora i due dischi sono perfettamente sovrapposti e anche i due draghi.

[axpgn]

Perfetto!


Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":[le dimensioni dei draghi non sono "limitate", basta che siano identici.

Comunque, bello il disegnino di gabriella

Devono essere per forza limitate, se no non entra nel cerchio in entrambe le posizioni.
Nel messaggio precedente ho specificato in che senso devono essere 'non troppo grandi', proprio per entrare nel cerchio.
Il disegno l'ho provato in altre dimensioni e posizioni, sembra funzionare, mi sembra solo un modo diverso di fare quello che ha detto veciorik.

Sono contenta comunque che apprezzi l'arte

[gabriella127]

Faccio un esempio di drago troppo grande, sempre con la mia mirabile arte.

[axpgn]

"gabriella127":Devono essere per forza limitate, se no non entra nel cerchio in entrambe le posizioni.
Nel messaggio precedente ho specificato in che senso devono essere 'non troppo grandi', proprio per entrare nel cerchio.

"gabriella127":... Nota2 importante Il drago non può strasbordare oltre il centro,

No, non è necessario.
È sufficiente rispettare le condizioni richieste ovvero "due draghi identici su due cerchi identici".

Per esempio:

In questa immagine abbiamo due cerchi identici (quelli più grandi), due draghi identici ( i cerchi verdi) con la testa (i cerchi piccoli) e i due occhi, in quello a sinistra, l'occhio rosso è al centro del cerchio grande, in quello a destra non lo è (e neppure l'altro occhio).


In quest'altra immagine ho sovrapposto i due cerchi in modo che i due draghi siano esattamente sovrapposti; c'è una parte comune in cui l'occhio rosso è al centro del primo cerchio (quello grigio) e due lunette che sbordano, congruenti.
Ritaglio quella del secondo (viola) e la sovrappongo a quella del primo (in grigio) ed ecco che ottengo due dischi identici in tutto e per tutto.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":
[quote="gabriella127"]... Nota2 importante Il drago non può strasbordare oltre il centro,

No, non è necessario.
È sufficiente rispettare le condizioni richieste ovvero "due draghi identici su due cerchi identici"
[/quote]

Alex, mi riferivo solo al drago che avevo disegnato, non in generale, era evidente.
Stavo parlando di quel disegno di quel drago, spiegavo perché lo avevo fatto piccolo, per non avere l'obiezione che era piccolo, perché dicevo di tagliare sotto il centro.
Il drago disegnato come in quell'esempio non poteva andare oltre il centro, ma solo quello.
Era un esempio per far capire il metodo, è ovvio.

Avevo fatto altri disegni di draghi, anche disegni come il tuo, con drago sul centro, non ho mai detto che il drago non poteva stare sul centro, è ovvio che ci può stare. Ho fatto anche un disegno con drago con occhio sulla panza... .


Resta il fatto che il drago in un cerchio non può essere di dimensioni qualsiasi, se no può non entrare nell'altro cerchio. Tutto qui quello che ho detto. Nel secondo disegno si vede, e non ci piove, non puoi obiettare pure all'evidenza... pur di obiettare .

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Cerco di spiegarmi meglio

Sia \( \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^3 \) il disco, visto come un disco nel piano \(Oxy \) di centro \((0,0,0) \). E sia \(D\) l'insieme dei punti che formano il drago con l'occhio al centro, mentre \(D'\) l'insieme dei punti che formano il drago con l'occhio non al centro ovvero con l'occhio in un certo punto \((x,y,0) \). Allora possiamo ottenere \(D'\) a partire da \(D\), in questo modo.
Sia \( d \in D \) e \(d' \in D \) in modo tale che
\[ \begin{pmatrix}
-1 &0 &0 \\
0& -1 &0 \\
0& 0 &1
\end{pmatrix} d = \tilde{d} \]
Poi da \(\tilde{d} + (x,y,0) =d'\).
Sostanzialmente quello che abbiamo fatto è stato ruotare il drago \(D\) di \(\pi \) e poi traslarlo di \((x,y,0 )\).
Questo equivale a specchiare il drago \(D\) (fare una simmetria) rispetto ad un piano.
Noi tagliamo tutto il pezzo del cerchio che contiene questo procedimento in questo modo possiamo letteralmente capovolgere il pezzettino tagliato (specchiarlo) e incollarlo al contrario. Magari riuscirò a fare un disegno.

[axpgn]

@3m0o

"3m0o":... Sostanzialmente quello che abbiamo fatto è stato ruotare il drago \(D\) di \(\pi \)

Ma perché? Sovrapporre i draghi significa ruotarlo dell'angolo di "sfasamento" tra i due e poi traslarlo.

"3m0o":... Noi tagliamo tutto il pezzo del cerchio che contiene questo procedimento ...

E questo cosa significa?

Cordialmente, Alex

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Ecco un immagine:




Io taglio solo un cerchio, quello con il drago blu (il pentagono) che non ha l'occhio al centro. Mi immagino che l'altro drago con l'occhio al centro (quello verde) sia in modo tale che per ottenere quello blu a partire dal verde devo ruotarlo di 90 gradi e poi traslarlo. Dopodiché taglio tutta la cosa rossa. Tiro fuori il coso rosso e lo specchio. Ottengo quindi che il drago blu coincide con quello verde solo che dall'altro lato del cerchio.

[axpgn]

Che casino!
Hai preso un caso particolare ma sei sicuro che funzioni sempre?

Per esempio se l'occhio del pentagono blu fosse vicino al lato $LH$, questo giochino non funziona.

Cordialmente, Alex

P.S.: perché non hai inserito l'immagine usando l'apposito strumento fornito dal Forum?
Inserendola come hai fatto non solo è su un sito esterno (cosa non buona) ma è molto scomodo leggere la tua spiegazione e visualizzarla in contemporanea.

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Non può essere che l'occhio sia vicino a LH perché altrimenti non è più lo specchio dell'altro.

"axpgn":
P.S.: perché non hai inserito l'immagine usando l'apposito strumento fornito dal Forum?
Inserendola come hai fatto non solo è su un sito esterno (cosa non buona) ma è molto scomodo leggere la tua spiegazione e visualizzarla in contemporanea.

Perché non so come si fa...

[axpgn]

3m0o

E dove sta scritto che devono essere a specchio? Anzi, generalmente non lo saranno.
Lo ripeto ancora una volta, le condizioni sono semplicemente "due draghi identici disegnati su due dischi identici, uno con l'occhio coincidente col centro del disco, l'altro no".

Cordialmente, Alex

P.S.: sotto il form di risposta (dopo aver premuto il tasto "RISPONDI") ci sono delle opzioni, scegli il tab "Aggiungi immagine" e segui le istruzioni.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Penso sia sempre possibile metterli in modo tale che uno sia lo specchio dell'altro.

[axpgn]

Se due figure sono identiche ma non hanno una simmetria assiale non le puoi mettere a specchio, a meno di "ribaltarle" ma nel nostro caso non è necessario farlo né è neppure richiesto che lo sia, anzi diciamo pure che è proibito perché il disegno si trova su una delle facce e non anche sul retro.

Cordialmente, Alex

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Si ma io posso sempre immaginare che sul cerchio dove il drago non ha l'occhio al centro vi sia l'altro drago (eventualmente ribaltato) con l'occhio al centro. E tagliare come se ci fosse l'altro drago a specchio.
Perché specchio quello che già esiste sul cerchio in modo tale che l'occhio finisca nel centro.

[axpgn]

Non mi pare che funzioni (sempre che io abbia capito bene cosa intendi dire)

Come ritaglieresti queste figure in modo tale che il drago marrone (che non ha l'occhio al centro) finisca nella posizione del drago verde ed ovviamente che il pezzo ritagliato si riposizioni esattamente al suo posto per ricomporre il cerchio?

Cordialmente, Alex