Domanda logico-matematica
Ho trovato un esercizio in cui chiede di calcolare l'ultima cifra del numero $ 3^(10^200) $
Mi sorge però il dubbio: secondo voi per ultima cifra intende la più significativa o la meno significativa?
Intendendo la meno significativa ho proseguito come segue:
Con la calcolatrice ho osservato che l'ultima cifra dei numeri potenza di $ 3 $ si ripetevano nell'ordine $ 3,9,7,1 $
Dunque ho dedotto che $ 3^10 $ è un numero che ha per ultima cifra il numero 9, dunque ho presupposto che risolvere l'esercizio fosse equivalente a trovare l'ultima cifra del numero $ 9^200 = 3^400 $.
Poi considerando $ 3^400 $ ho pensato che, dato la ripetizione dell'utima cifra, si dovesse "contare" 400 volte la successione $ 3,9,7,1 $ "e vedere su quale numero mi fermo" (i.e: se dovevo contare 6 volte avrei fatto $ 3,9,7,1,3,9 $ mi sarei fermato sul numero $ 9 $) . Dunque per semplificare, $ 400/4 = 100 , 100/4 = 25, 25 /4 = 4*6 + 1 $ e ho concluso dicendo che l'ultima cifra del numero $ 3^(10^200) $ fosse 3.
Qualcuno mi può dire se ho fatto bene? E in tal caso, esiste una soluzione più veloce?
Mi sorge però il dubbio: secondo voi per ultima cifra intende la più significativa o la meno significativa?
Intendendo la meno significativa ho proseguito come segue:
Con la calcolatrice ho osservato che l'ultima cifra dei numeri potenza di $ 3 $ si ripetevano nell'ordine $ 3,9,7,1 $
Dunque ho dedotto che $ 3^10 $ è un numero che ha per ultima cifra il numero 9, dunque ho presupposto che risolvere l'esercizio fosse equivalente a trovare l'ultima cifra del numero $ 9^200 = 3^400 $.
Poi considerando $ 3^400 $ ho pensato che, dato la ripetizione dell'utima cifra, si dovesse "contare" 400 volte la successione $ 3,9,7,1 $ "e vedere su quale numero mi fermo" (i.e: se dovevo contare 6 volte avrei fatto $ 3,9,7,1,3,9 $ mi sarei fermato sul numero $ 9 $) . Dunque per semplificare, $ 400/4 = 100 , 100/4 = 25, 25 /4 = 4*6 + 1 $ e ho concluso dicendo che l'ultima cifra del numero $ 3^(10^200) $ fosse 3.
Qualcuno mi può dire se ho fatto bene? E in tal caso, esiste una soluzione più veloce?
Risposte
non so se la risposta sia esatta, non vi ho dedicato molta attenzione, però ho l'impressione che tu abbia applicato la proprietà della potenza di potenza anche se qui non era da applicare.
ti spiego: se non ci sono parentesi, la corretta interpretazione del doppio esponente è un'altra...
$(a^b)^c=a^(b*c)$, ma $a^(b^c)=a^((b^c))$, che è una cosa diversa.
ti spiego: se non ci sono parentesi, la corretta interpretazione del doppio esponente è un'altra...
$(a^b)^c=a^(b*c)$, ma $a^(b^c)=a^((b^c))$, che è una cosa diversa.
Io la vedrei così ...
Data una potenza di $3$ come $3^k$ possiamo esprimere l'esponente in uno dei seguenti modi $4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3$; quindi la nostra potenza diventa $3^(4n+h)=3^(4n)*3^h=(3^4)^n*3^h$ dove $h$ appartiene all'insieme ${0,1,2,3,}$.
Ora, dato che $3^4=81$ anche $(3^4)^n$ avrà come ultima cifra $1$ perché l'ultima cifra di un prodotto dipende solo dal prodotto delle unità ed essendo in questo caso tutte uguali a $1$ lo sarà anche l'ultima cifra del prodotto.
Da ciò si deduce che l'ultima cifra della nostra potenza di $3$ dipende solo da $h$ (che è il resto della divisione di $k$ per $4$).
Ma nel nostro caso l'esponente, sia nel caso di $10^200$ sia nel caso $2000$ è una cifra divisibile per $4$ perciò il resto sarà zero e quindi se $h=0$ l'ultima cifra della nostra potenza sarà $1$.
Dite che funziona? Speriamo ...
Cordialmente, Alex
Data una potenza di $3$ come $3^k$ possiamo esprimere l'esponente in uno dei seguenti modi $4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3$; quindi la nostra potenza diventa $3^(4n+h)=3^(4n)*3^h=(3^4)^n*3^h$ dove $h$ appartiene all'insieme ${0,1,2,3,}$.
Ora, dato che $3^4=81$ anche $(3^4)^n$ avrà come ultima cifra $1$ perché l'ultima cifra di un prodotto dipende solo dal prodotto delle unità ed essendo in questo caso tutte uguali a $1$ lo sarà anche l'ultima cifra del prodotto.
Da ciò si deduce che l'ultima cifra della nostra potenza di $3$ dipende solo da $h$ (che è il resto della divisione di $k$ per $4$).
Ma nel nostro caso l'esponente, sia nel caso di $10^200$ sia nel caso $2000$ è una cifra divisibile per $4$ perciò il resto sarà zero e quindi se $h=0$ l'ultima cifra della nostra potenza sarà $1$.
Dite che funziona? Speriamo ...
Cordialmente, Alex
Grazie ad entrambi per le risposte!
Alex, anche secondo me il tuo ragionamento funziona. Complimenti per aver intuito la soluzione e grazie ancora
PS: hai proprio ragione ada , ho fatto proprio una cavolata a considerare $ 3^10 $ da solo!
Alex, anche secondo me il tuo ragionamento funziona. Complimenti per aver intuito la soluzione e grazie ancora
PS: hai proprio ragione ada , ho fatto proprio una cavolata a considerare $ 3^10 $ da solo!
Tralasciando gli errori relativi alle proprietà delle potenze cui ti hanno già risposto, io non ho capito perché una volta arrivato al numero $400$ hai diviso per $4$ non una, non due, ma tre volte!
Hai detto giustamente tu stesso che
da cui, essendo $400$ un multiplo di $4$, la successione si sarebbe fermata al numero $1$ (risultato giusto ma seguendo ovviamente un procedimento sbagliato).
Hai detto giustamente tu stesso che
"GabMat":
dato la ripetizione dell'utima cifra, si dovesse "contare" 400 volte la successione $ 3,9,7,1 $ "e vedere su quale numero mi fermo" (i.e: se dovevo contare 6 volte avrei fatto $ 3,9,7,1,3,9 $ mi sarei fermato sul numero $ 9 $) .
da cui, essendo $400$ un multiplo di $4$, la successione si sarebbe fermata al numero $1$ (risultato giusto ma seguendo ovviamente un procedimento sbagliato).
Hai ragione marco, è che non sono una cima in matematica e spesso mi capita di appoggiarmi troppo sulla mia intuizione, senza magari verificare ciò che affermo.
E' che sbaglio atteggiamento quando svolgo esercizi del genere ( dove non cè la regolina metodica per la soluzione ma cè da ragionare).
Insomma, in poche parole ho difficoltà a verificare quello che concludo e ciò mi induce ad avere un'approccio con gli esercizi troppo superficiale... ti ringrazio per avermelo fatto notare; adesso devo migliorare su questo aspetto. Qualche consiglio? (tipo voi affermate qualcosa e poi verificate che sia corretta, oppure guardate quali sono le possibili strade per proseguire in un esercizio e ne seguite una? bisogna andare a tentativi o muoversi con cautela e razionalità? o dipende dal caso?)
PS: se è necessario aprire un nuovo thread per cambiare argomento della conversazione fatemelo sapere!
E' che sbaglio atteggiamento quando svolgo esercizi del genere ( dove non cè la regolina metodica per la soluzione ma cè da ragionare).
Insomma, in poche parole ho difficoltà a verificare quello che concludo e ciò mi induce ad avere un'approccio con gli esercizi troppo superficiale... ti ringrazio per avermelo fatto notare; adesso devo migliorare su questo aspetto. Qualche consiglio?
(tipo voi affermate qualcosa e poi verificate che sia corretta, oppure guardate quali sono le possibili strade per proseguire in un esercizio e ne seguite una? bisogna andare a tentativi o muoversi con cautela e razionalità? o dipende dal caso?)PS: se è necessario aprire un nuovo thread per cambiare argomento della conversazione fatemelo sapere!
Personalmente non so che dirti, dato che consiglio caldamente a tutti di essere metodici, precisi, di verificare e riverificare anche l'ovvio ma io un metodo non lo seguo ... 
.
E d'altra parte sono convinto che quello che va bene per uno non va tanto bene per un altro, ognuno ha le sue peculiarità ... e poi magari le cose ti vengono quando meno te l'aspetti.
Ieri sera, per esempio, mi è tornato in mente questo problema perché non ero sicurissimo dell'affermazione di partenza, che invece si dimostra abbastanza facilmente ...
Da questa conclusione, però, si possono dedurre delle semplici regole per determinare l'ultima cifra di $k^n$.
Detta $u$ la cifra delle unità di $k$ e $u_p$ la cifra delle unità di $k^n$ allora avremo che:
Se $u$ appartiene all'insieme ${0,1,5,6}$ allora sarà $u_p=u$.
Se $u=4$ allora: se $n$ sarà pari allora $u_p=6$ mentre se $n$ dispari allora $u_p=4$.
Se $u=9$ allora: se $n$ sarà pari allora $u_p=1$ mentre se $n$ dispari allora $u_p=9$.
Se $u$ appartiene all'insieme ${2,3,7,8}$ e detto $r$ il resto della divisione di $n$ per $4$ (cioè $r=n$ MOD $4$)
allora avremo la seguente tabellina:
Sinceramente non so a cosa possa servire ... al massimo puoi sfidare qualche amico ad indovinare l'ultima cifra di $137237^22$ (che è $9$ ..
).
Cordialmente, Alex
.E d'altra parte sono convinto che quello che va bene per uno non va tanto bene per un altro, ognuno ha le sue peculiarità ... e poi magari le cose ti vengono quando meno te l'aspetti.
Ieri sera, per esempio, mi è tornato in mente questo problema perché non ero sicurissimo dell'affermazione di partenza, che invece si dimostra abbastanza facilmente ...
Da questa conclusione, però, si possono dedurre delle semplici regole per determinare l'ultima cifra di $k^n$.
Detta $u$ la cifra delle unità di $k$ e $u_p$ la cifra delle unità di $k^n$ allora avremo che:
Se $u$ appartiene all'insieme ${0,1,5,6}$ allora sarà $u_p=u$.
Se $u=4$ allora: se $n$ sarà pari allora $u_p=6$ mentre se $n$ dispari allora $u_p=4$.
Se $u=9$ allora: se $n$ sarà pari allora $u_p=1$ mentre se $n$ dispari allora $u_p=9$.
Se $u$ appartiene all'insieme ${2,3,7,8}$ e detto $r$ il resto della divisione di $n$ per $4$ (cioè $r=n$ MOD $4$)
allora avremo la seguente tabellina:
Sinceramente non so a cosa possa servire ... al massimo puoi sfidare qualche amico ad indovinare l'ultima cifra di $137237^22$ (che è $9$ ..
).Cordialmente, Alex
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