Divisori

[superpippone]

Visto che siete bravi, vi appioppo il problema 15......

Desiderio conta i divisori di 2016 ed effettivamente ne trova tanti. Ma naturalmente ci sono numeri che ne hanno ancora di più.
Quale anno del terzo millennio ha il maggior numero di divisori?

Qua dopo un po' di pensamenti, ho sparato 2.880.
Ma non me l'hanno dato buono.....

[Gi81]

In generale, se $n= p_1^(h_1) *...* p_r^(h_r)$ (con $p_1<...=1$),
allora, indicata con $d(n)$ la funzione che associa ad ogni $n$ il numero dei suo divisori,
si ha $d(n)= (h_1 +1)*...*(h_r +1)$.



Quindi $n=2880 = 2^6*3^2*5^1 => d(n)= 7*3*2= 42$.

Provando con numeri del tipo $n=2^a * 3^b * 5^c * 7^d$, ho trovato $n=2520= 2^3*3^2*5*7 => d(n)= 4*3*2*2 = 48$.

[superpippone]

Gi8: ti ringrazio per la risposta, me quei simboli non mi sono comprensibili.
Mi servirebbe qualcosa di più semplice......

[axpgn]

@Gi8
Spoiler, please ...

@supepippone

Quello è il simbolo della "produttoria" (analoga alla "sommatoria") e la prima formula non é altro che la solita decomposizione in fattori primi.

Da questa ricava il numero di divisori e cioè il prodotto di tutti gli esponenti dei fattori primi aumentati di uno; secondo me a quella formula ci arrivi da solo perché è proprio il tuo "pane" ...

Poi penso che si debba andar per tentativi (o no?) e in quel caso, come ha fatto Gi8, è probabile che se ne abbia di più con fattori bassi.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Sono arrivato alla soluzione di Gi8 in modo naïve contando i divisori spannometricamente.
$2016=2^5 3^2 7^1$ ha $36$ divisori mentre $2880=2^6 3^2 5^1$ ne ha $42$.
Il numero di Gi8, con 48 divisori, è :

$2520=2^3 3^2 5^1 7^1$

Per contare i divisori ho faticato non conoscendo la formula, spiegata in Wikipedia alla voce Divisore paragrafo Numero_di_divisori.

$36 = (5+1)(2+1)(1+1)$
$42 = (6+1)(2+1)(1+1)$
$48 = (3+1)(2+1)(1+1)(1+1)$

Pur non conoscendo la formula l'ho intuita approssimativamente ed ho calcolato la mia soluzione in questo modo:

scomposto 2016 in fattori primi, aggiunto il 5 mancante ed eliminati due 2 per aumentare il numero dei primi:
il fattore in più raddoppia i divisori,
abbassando da 5 a 3 l'esponente del 2 riduco i divisori a $(3+1)/(5+1)=2/3$,
risultato netto il numero dei divisori si moltiplica per $4/3$.
Invece passando da 2016 a 2880 aumenta da 5 a 6 l'esponente del 2 con un guadagno, minore, di $(6+1)/(5+1)=7/6$

Non so dimostrare rigorosamente che questa sia la soluzione ma a naso credo che lo sia: aggiungendo altri fattori primi, più alti, diminuiscono troppo gli esponenti.
PS: forse questa è una prova accettabile:

Con la scomposizione $2^p 3^q 5^r 7^s$ la soluzione deve essere multipla di $2*3*5*7=210$ ; per non superare 3000 posso moltiplicare 210 max per $n < 15$ ; il numero minore di 15 con più divisori è $12=2^2*3^1$ ; quindi la soluzione è $210*12=2520$ cvd .
Invece con la scomposizione $2^p 3^q 5^r$ la soluzione deve essere multipla di $2*3*5=30$ ; per non superare 3000 posso moltiplicare 30 max per $n < 100$ ; il numero minore di 100 con più divisori è $96=2^5*3^1$ ; quindi la soluzione $30*96=2880$ con 42 divisori .
Analogamente si mostra che $2016$ è il massimo ottenibile con una scomposizione del tipo $2^p 3^q 7^s$ .

[superpippone]

Vi ringrazio per le risposte.
Sono anche moderatamente soddisfatto perchè la mia "sparata" ,alla resa dei conti, non era poi tanto male...
Devo anche dire che alla fine sono anche riuscito a capire la formula di Gi8.
Certo che non conoscendola, il compito era improbo...

Luciano

[axpgn]

Un paio di aggiunte (giusto per sfizio ... )

Quel numero è (relativamente) famoso, alcuni archeologi lo hanno trovato inciso su una tomba di una piramide; essi presuppongono che tale "onore" sia dovuto al fatto che è il più piccolo intero divisibile per tutti i numeri da uno a dieci (in effetti una particolarità carina, soprattutto per l'epoca ... )
Io penso che molti tra quelli che vanno a tali gare si "allenino" anche su queste cose (al di là delle conoscenze puramente matematiche e logiche): il tempo è comunque poco per fare tutto "solo" logicamente anche avendone le capacità ... IMHO

E rimanendo in tema, eccone un altro ...

Una compagnia di trenta cavalieri stava marciavano in un prato fiorito, ad un tratto uno di essi si rivolge al suo vicino dicendogli: "Ora stiamo cavalcando in fila per due ma potremmo farlo in file da tre, da cinque, da sei, da dieci, da quindici e pure una fila da trenta, oltreché in fila indiana, sempre mantenendo le file tutte uguali. Sapresti dirmi qual è il numero minimo di cavalieri perché sia possibile fare lo stesso in $64$ modi diversi ?"

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex

7560

Ciao
B.