Divisibilità

[Piera4]

Determinare il minimo numero naturale n per cui
5^(9999 + n) + n
è divisibile per 3

[carlo232]

"Piera":Determinare il minimo numero naturale n per cui
5^(9999 + n) + n
è divisibile per 3

Non esiste, si dimostra facilmente con l'aritmetica modulare.

[Piera4]

no, esiste...

[carlo232]

"Piera":Determinare il minimo numero naturale n per cui
5^(9999 + n) + n
è divisibile per 3

Propongo anche io un problema

trovare $n$ tale che

$n^n+1$

abbia 7 fattori primi distinti

Ciao, ciao

[Piera4]

forse non hai letto il mio ultimo post, ma il numero n esiste
ti volevo chiedere, quel numero enorme che hai postato in un vecchio topic che caratteristica ha? se non ricordo male hai detto che ne esistono soltanto tre...

[Giusepperoma2]

do la mia soluzione per il problema di Piera:

n=5

giusto?

[carlo232]

"Piera":no, esiste...

se ho $5^9999 -= 2 mod 3$ allora

$5^(9999+n)+n -= 2*5^n+n mod 3$

$n$ può essere 0,1,2 in modulo 3 e quindi ho tre casi

$2*5^0+0 -= 2 mod 3$

$2*5^1+1 -= 2 mod 3$

$2*5^2+2 -= 1 mod 3$

dove ho sbagliato?

[carlo232]

"Piera":forse non hai letto il mio ultimo post, ma il numero n esiste
ti volevo chiedere, quel numero enorme che hai postato in un vecchio topic che caratteristica ha? se non ricordo male hai detto che ne esistono soltanto tre...

Ah, si è vero.

Non ha nessuna caratteristica particolare, credevo si fosse capito, volevo solo mostrare che ogni numero se preso e rigirato per bene ha una caratteristica unica.

[Piera4]

@Giusepperoma ci sei andato vicino, ma non è 5

@carlo23
hai scritto n può essere 0,1,2 in modulo 3 e quindi ho tre casi, no perchè 0,1,2 in modulo 3 è solo il resto della divisione di 5^(9999 + n) + n con 3, ma n può assumere un valore qualsiasi...

Allora qual è n ?

[Giusepperoma2]

Giusto!

n=4

n=5 funziona, ma giustamente si chiede il minimo valore di n! io mi ero concentrato sul caso esponente pari e avevo trovato n=5, ma nel caso esponente dispari si ottiene n= 4 che minore di 5

[Nidhogg]

Concordo con Giuseppe. Il minimo è n=4.

[Sk_Anonymous]

"carlo23":Propongo anche io un problema: trovare $n$ tale che $n^n+1$ abbia 7 fattori primi distinti

Faccio di meglio: te ne trovo uno tale che n^n + 1 ne possiede infiniti, di divisori primi distinti. Sai, siccome non sei stato molto preciso nel formulare il tuo problema, mi concedo la libertà di assumere n = -1.

[carlo232]

"HiTLeuLeR":[quote="carlo23"]Propongo anche io un problema: trovare $n$ tale che $n^n+1$ abbia 7 fattori primi distinti

Faccio di meglio: te ne trovo uno tale che n^n + 1 ne possiede infiniti, di divisori primi distinti. Sai, siccome non sei stato molto preciso nel formulare il tuo problema, mi concedo la libertà di assumere n = -1.[/quote]

Eh,eh giusto... in effetti non ho detto che $n>0$.

[Sk_Anonymous]

Per il teorema cinese dei resti, fissato un qualunque intero $k \ge 2$, esiste $m_k \in \mathbb{Z}^+$ tale che $m_k \equiv -1 \bmod p_i$, per ogni $i = 2, 3, ..., k$, dove $\{p_i\}_{i \ge 1}$ è la sequenza ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi naturali ($p_1 = 2$, $p_2 = 3$, ...). Posto allora $n := 2m_k + 1$, vale $n^n + 1 \equiv 0 \bmod P$, se $P := \prod_{i=2}^k p_i$. Da qui la tesi, anzi una sua versione più generale, ché i divisori primi distinti di $n^n + 1$ sono in numero pari almeno a $k$, by design, e $k$ può essere ovviamente reso grande ad arbitrio.