Disuguaglianza
Dimostrare che $((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n))$.
Risposte
$((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n))$ si può scrivere come $(2n!)/(n!)^2<4^n/(sqrt(3n))$.
Per $n=1$ abbiamo $2<4/(sqrt3)$ che è vera.
Per $n+1$ abbiamo $((2n+2)!)/((n+1)!)^2<4^(n+1)/(sqrt(3n+3))$ quindi
$(2n!)/(n!)^2*((2n+1)(n+1)2)/(n+1)^2<4^n/(sqrt(3n))*(4sqrtn)/(sqrt(n+1))$
Chiamiamo per rapidità $(2n!)/(n!)^2=x$ e $4^n/(sqrt(3n))=y$. Abbiamo ora
$x((2n+1)2)/(n+1)
[errato]
Ergo $((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n))$ è vera per ogni $n$
[Edit2]In attesa di illuminazioni
Per $n=1$ abbiamo $2<4/(sqrt3)$ che è vera.
Per $n+1$ abbiamo $((2n+2)!)/((n+1)!)^2<4^(n+1)/(sqrt(3n+3))$ quindi
$(2n!)/(n!)^2*((2n+1)(n+1)2)/(n+1)^2<4^n/(sqrt(3n))*(4sqrtn)/(sqrt(n+1))$
Chiamiamo per rapidità $(2n!)/(n!)^2=x$ e $4^n/(sqrt(3n))=y$. Abbiamo ora
$x((2n+1)2)/(n+1)
[errato]
Ergo $((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n))$ è vera per ogni $n$
[Edit2]In attesa di illuminazioni
alla fine credo che ci sia qualcosa che non quadra:
il $2+1/(n+1)$ appare dal nulla.
Comunque tralasciando quel passaggio, i due limiti tenderebbero a 4 ma entrambi dal basso.
il $2+1/(n+1)$ appare dal nulla.
Comunque tralasciando quel passaggio, i due limiti tenderebbero a 4 ma entrambi dal basso.
infatti ho sbagliato era xke
$(2n+1)/(n+1)=2-1/(n+1)$
Hai ragione per i limiti. Non so se effettivamente basti il fatto che entrambi tendano a 4 e che quindi risulti comunque $x
$(2n+1)/(n+1)=2-1/(n+1)$
Hai ragione per i limiti. Non so se effettivamente basti il fatto che entrambi tendano a 4 e che quindi risulti comunque $x
credo che potrebbe valere per il limite; però qua è richiesto per tutti gli $n$.
Io pensavo di sfruttare come avevi iniziato per farlo per induzione ma non va.
Se no, altri metodi, si potrebbe passare da $4^n=2^(2n)=sum_k ((2n),(k))$ , e/o che $((2n),(n))=sum_k ((n),(k))^2$; però c'è quel $sqrt(3)n$ in giro che complica la storia, quindi non so...
Io pensavo di sfruttare come avevi iniziato per farlo per induzione ma non va.
Se no, altri metodi, si potrebbe passare da $4^n=2^(2n)=sum_k ((2n),(k))$ , e/o che $((2n),(n))=sum_k ((n),(k))^2$; però c'è quel $sqrt(3)n$ in giro che complica la storia, quindi non so...
Hint: provare a dimostrare una disuaglianza piu' forte
$((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n+1))$.
$((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n+1))$.
"Crook":
Hint: provare a dimostrare una disuaglianza piu' forte
$((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n+1))$.
Questa non mi piace, non posso scomporre $3n+4$ in $(3n+1)(P_(n))$
P.S. La soluzione precedente la ho perfezionata
"Aethelmyth":
[quote="Crook"]Hint: provare a dimostrare una disuaglianza piu' forte
$((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n+1))$.
Questa non mi piace, non posso scomporre $3n+4$ in $(3n+1)(P_(n))$
P.S. La soluzione precedente la ho perfezionata
[/quote]credo che ci sia un errore di calcolo...
la parte di sinistra è sempre maggiore a quella di destra per $n>=1$.
Però la differenza tra le due è sempre abbastanza piccola da non rendere falsa l'affermazione.
Forse con l'hint di crook non ci sarebbe sto problema, però non ho ancora provato...
"leev":
[quote="Aethelmyth"][quote="Crook"]Hint: provare a dimostrare una disuaglianza piu' forte
$((2n),(n))<4^n/(sqrt(3n+1))$.
Questa non mi piace, non posso scomporre $3n+4$ in $(3n+1)(P_(n))$
P.S. La soluzione precedente la ho perfezionata
[/quote]credo che ci sia un errore di calcolo...
la parte di sinistra è sempre maggiore a quella di destra per $n>=1$.
Però la differenza tra le due è sempre abbastanza piccola da non rendere falsa l'affermazione.
Forse con l'hint di crook non ci sarebbe sto problema, però non ho ancora provato...[/quote]
Hai ragione ritiro tutto, ricontrollando trovo che $1<=0$
Beh allora,
volendo dimostrare per induzione:
per n=1 non ci son problemi;
da n a n+1:
per n abbiamo quindi che $((2n)!)/(n!)^2 < 4^n/(sqrt(3(n+1)))$ (1)
vogliamo dimostrare che:
$((2n+2)!)/((n+1)!)^2 < 4^(n+1)/(sqrt(3n+4))$
che è equivalente a:
$((2n)!)/(n!)^2 * ((2n+1)2)/(n+1) < 4^n/(sqrt(3(n+4))) * 4$
La parte di destra è inferiore a: $4^n/(sqrt(3(n+1))) * 4$
Dunque, per ipotesi d'induzione e siccome $((2n+1)2)/(n+1) = (4n+2)/(n+1) < 4$, la tesi è dimostrata (almeno, penso, se nn ho fatto qualche errore di calcolo).
Ciao
volendo dimostrare per induzione:
per n=1 non ci son problemi;
da n a n+1:
per n abbiamo quindi che $((2n)!)/(n!)^2 < 4^n/(sqrt(3(n+1)))$ (1)
vogliamo dimostrare che:
$((2n+2)!)/((n+1)!)^2 < 4^(n+1)/(sqrt(3n+4))$
che è equivalente a:
$((2n)!)/(n!)^2 * ((2n+1)2)/(n+1) < 4^n/(sqrt(3(n+4))) * 4$
La parte di destra è inferiore a: $4^n/(sqrt(3(n+1))) * 4$
Dunque, per ipotesi d'induzione e siccome $((2n+1)2)/(n+1) = (4n+2)/(n+1) < 4$, la tesi è dimostrata (almeno, penso, se nn ho fatto qualche errore di calcolo).
Ciao
Secondo me vale lo stesso discorso della prima induzione, addirittura rafforzato. Ti servirebbe sapere di quanto entrambi i membri rimangono distanziati
Non ho capito perché $(2n+1)^2/(n+1)=(4n+2)/(n+1)$.
Perchè non è $(2n+1)^2/(n+1)$ ma $[2(2n+1)]/(n+1)$
sì, il mio ultimo post va cestinato completamente..
Dai crook, una piccola spinta al tuo hint?
Dai crook, una piccola spinta al tuo hint?
Premetto che provare $3n+1$ non credo mi sarebbe venuto in mente...
Per $n=1$ siamo a posto,
Supponiamo valga per $n-1$:
$((2n-2)!)/((n-1)!^2) <= (4^n)/(4\sqrt(3n-2)) $
abbiamo:
$((2n)!)/((n)!^2) = ((2n-2)!)/((n-1)!^2) * ((2n-1)(2n))/(n^2) <= (4^n)/(4\sqrt(3n-2)) * ((2n-1)(2n))/(n^2) = 4^n * (1-1/(2n))(1/\sqrt(3n-2))$
allora dobbiamo trovare $n$ per cui vale la seguente:
$(1-1/(2n))(1/\sqrt(3n-2)) <= 1/\sqrt(3n+1)$, sse
$(1-1/(2n))^2(3n+1)/(3n-2)-1 <= 0$, sse
$(2n-1)^2(3n+1)-(2n)^2(3n-2)<=0$, sse
$12n^3+4n^2-12n^2-4n+3n+1-12n^3+8n^2 <= 0$, sse
$n >= 1$
Per $n=1$ siamo a posto,
Supponiamo valga per $n-1$:
$((2n-2)!)/((n-1)!^2) <= (4^n)/(4\sqrt(3n-2)) $
abbiamo:
$((2n)!)/((n)!^2) = ((2n-2)!)/((n-1)!^2) * ((2n-1)(2n))/(n^2) <= (4^n)/(4\sqrt(3n-2)) * ((2n-1)(2n))/(n^2) = 4^n * (1-1/(2n))(1/\sqrt(3n-2))$
allora dobbiamo trovare $n$ per cui vale la seguente:
$(1-1/(2n))(1/\sqrt(3n-2)) <= 1/\sqrt(3n+1)$, sse
$(1-1/(2n))^2(3n+1)/(3n-2)-1 <= 0$, sse
$(2n-1)^2(3n+1)-(2n)^2(3n-2)<=0$, sse
$12n^3+4n^2-12n^2-4n+3n+1-12n^3+8n^2 <= 0$, sse
$n >= 1$
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