Distanze

[axpgn]

Dimostrare che per ogni $n>3$ esiste un poligono convesso con $n$ lati, non tutti uguali, tale che la somma delle distanze di un qualsiasi punto interno dai lati è costante.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

E' necessario che il poligono sia equiangolo.

Presi 2 punti $P$ e $P'$, la somma della distanze e'

$S' - S = \sum_{i=0}^n \vec {PP'} \cdot \hat {PH_i}$

dove $\hat {PH_i}$ e' il vettore unitario che punta da $P$ al piede della perpendicolare $H_i$ del lato $i$.

Data la linearita' del prodotto scalare si puo' portare fuori dalla somma $\vec {PP'}$

$S' - S = \vec {PP'} \cdot \sum_{i=0}^n \hat {PH_i}$

Siccome i vettori unitari $\hat {PH_i}$ formano angoli uguali, la somma e' nulla: $\sum_{i=0}^n \hat {PH_i} = 0$

e quindi $S' - S = 0$.

[axpgn]

"Quinzio":

E' necessario che il poligono sia equiangolo.

Non è necessario.

[Quinzio]

https://en.wikipedia.org/wiki/Viviani%2 ... ar_polygon

[axpgn]

Ho capito ma non è condizione necessaria, dimostralo senza aggiungere condizioni.

[sellacollesella]

.

[axpgn]

Sono due bei punti di partenza

[Quinzio]

D'accordo, ci sono anche tutti i poligoni per cui esiste il corrispettivo poligono di lato unitario.
Ovvero, si prende il poligono in esame e si vede se esiste un poligono che ha gli stessi angoli interni ma tutti i lati lunghi 1.
Se tale poligono con i lati unitari esiste, allora il poligono originale e' valido.
In altre parole ancora... si costruisce una spezzata che abbia gli stessi angoli interni del poligono in esame. Se la spezzata si chiude, cioe' si torna al punto di partenza, allora il poligono e' valido.

E' la stessa condizione di cui parlavo nel mio precedente messaggio, ovvero $ \sum_{i=1}^n \hat {PH_i} = 0 $.
Tutti i poligoni equiangoli hanno questa proprieta', ma ce ne sono infinitamente altri.

Ad es. nelle figure postate da sellacollesella, nel trapezio basta accorciare i lati obliqui per avere il corrispondente poligono a lati unitari. Nell'altra figura a forma di casa basta allungare i lati verticali, quelli obliqui e quello orizzontale sono gia' lunghi 1.

Formalmente si puo' anche esprimere con una formula, se $V_i$ e' un vertice e $V_0 = V_n$

$ \sum_{i=1}^n (V_i - V_{i-1})/||V_i - V_{i-1}|| = 0 $

ma in pratica e' la stessa condizione che ho scritto prima.

Nella prima immagine sotto il poligono azzurro e' quello originale, poi si vede la spezzata con i lati unitari, che NON si chiude.
Quindi il poligono non e' valido, non ha la somma delle distanze che rimane costante.

Nella seconda immagine, invece la spezzata si chiude, il poligono e' valido.

[axpgn]

Sinceramente non mi è ancora chiaro perché la proprietà dei poligoni di cui parli debba garantire l'esistenza dei poligoni cercati e peraltro non mi pare che tu abbia ancora dimostrato che valga per ogni $n$

Comunque, assunto che tu sia nel giusto, conosco una dimostrazione più semplice

Supponiamo che esista un $n$-gono che soddisfi i requisiti richiesti; costruiamo un poligono di $n+2$ lati tagliando due angoli con due parallele, come in questo esempio:


Il nuovo poligono ha anch'esso le caratteristiche richieste in quanto dati due punti interni qualsiasi, la somma delle distanze dai lati precedenti è costante per ipotesi a cui aggiungiamo le distanze dalle parallele che è costante.
Questo è il passo induttivo.
Per il basso base possiamo osservare che per $n=4$ basta usare un qualsiasi rettangolo mentre per $n=5$ si può costruire un pentagono con le caratteristiche richieste partendo da un triangolo equilatero e tagliando due angoli come descritto

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Aggiungo una facile osservazione: per i poligono con un numero pari di lati è sufficiente (ma probabilmente non necessario) che i lati siano adue a due paralleli; le ipotesi sono rispettate se almeno due hanno lunchezza diversa, Infatti allora la somma delle distanze di un punto qualsiasi da due lati opposti è uguale alla distanza fra quei due lati ed è costante al variare del punto.
I poligoni con $n$ dispari richiedono però un ulteriore esame e per tutti sarebbe interessante trovare una condizione necessaria di facile controllo (escluderei frasi come "... se è possibile trovare...").

[axpgn]

Spunto interessante, credo però che se esistesse una regola "facile" l'avrebbero già trovata (è altrettanto probabile che esista ma io non la conosca )