Distanza

[axpgn]

Quale la minima distanza tra il grafico della funzione $y=e^x$ e il grafico della sua inversa $y=ln(x)$ ?
Dimostrazione.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

$ sqrt(2) $
La retta $y=x+1$ è tangente al grafico della funzione $ y= e^x $ nel punto $ A(0,1) $ e, simmetricamente, la retta $y=x-1$ è tangente al grafico della funzione $ y= ln x $ nel punto $ B(1,0) $. Le parti restanti dei due grafici sono esterni alla striscia delimitata dalle due rette, quindi la minima distanza (più semplicemente distanza) fra le due curve è $ bar(AB)=sqrt(2) $.
Si può, agevolmente, dimostrare che, al variare della base dell'esponenziale, la distanza fra le due curve è sempre non maggiore di quella testé trovata.

Ciao

[axpgn]

Perfetto!

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

La distanza minima $d(x)=e^x-ln(x)$ avviene per quel valore di x tale che, prese due rette tangenti e parallele alle due curve, la loro distanza ortogonale è la più piccola fra tutte le coppie di rette tangenti e parallele ed è pari a circa 1.147

[axpgn]

@Bokonon
… mmm … non concordo con la tua definizione …

Premesso che forse era meglio scrivere "due rette parallele e tangenti alle curve", se prendi le due rette $y=x/e+2/e$ e $y=x/e$, queste sono parallele, sono tangenti alle due curve e la loro distanza ortogonale è all'incirca $0.7$.
Ma soprattutto questa non è una (la) distanza fra le due curve …

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

"axpgn":@Bokonon
… mmm … non concordo con la tua definizione …

Intendevo dire sempre con la medesima X.
Doveva essere una battuta, Alex dato che esiste una sola soluzione.
E invece di portare la dimostrazione o la distanza minima fra le due curve, ho messo la distanza fra le due rette tangenti per quel valore di x.

P.S. Di per se l'esercizio è fin troppo semplice, basta fare due derivate provando che è un minimo.

[axpgn]

Ma la distanza minima fra le curve non avviene per la medesima $x$ e il minimo di questa $d(x)=e^x-ln(x)$ non è $1.147$

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

Quella che hai scritto non è la distanza fra due rette. Traccia le due rette tangenti alla curva:
$y=1.7632(x-0.567143)-0.567143$
$y=1.7632(x-0.567143)+1.7632$
Traccia la retta perpendicolare $y=-1/(1.7632)x+0.763$
Trova i 2 punti in comune fra le 3 rette e calcola la distanza.
La distanza fra due rette è la minima per definizione.
Madonna, non faccio più battute.

[axpgn]

Sinceramente non ti capisco più …

"Bokonon":Quella che hai scritto non è la distanza fra due rette. …

Ti stai riferendo a queste?

"axpgn":… se prendi le due rette $ y=x/e+2/e $ e $ y=x/e $, ...

Queste sono due rette parallele (come le tue), sono tangenti alle due curve (come le tue) ma la distanza è minore della tua ovvero confermo circa $0,7$ contro $1.149$.
Quindi non capisco …

La richiesta del problema è quella di trovare la minima distanza tra i due grafici ovvero tra due insiemi di punti del piano (cioè presi due punti qualsiasi, uno di un grafico e uno dell'altro, determinare qual è la minima distanza possibile).

Ed è quella trovata da orsoulx.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Le due curve sono immagini speculari l'una dell'altra rispetto alla retta $y=x$.
La loro distanza è uguale alla distanza tra due rette tangenti parallele a $y=x$, con coefficiente angolare = 1.
Si trova il punto di $e^x$ in cui la derivata $e^x =1$, cioè $(0,1)$.
E' facile verificare che la tangente di $ln(x)$ ha coefficiente angolare = 1 nel punto $(1,0)$.
Ma è più semplice affermarlo per la simmetria suddetta.
La distanza tra i 2 punti, le 2 rette, le 2 curve, vale $sqrt(1^2+1^2)$.
A rigore bisognerebbe controllare, credo, che le due funzioni siano continue e derivabili: lo sono.

[axpgn]

[Bokonon]

@Alex
Adesso a mente fresca, ho realizzato di aver imposto l'uguaglianza non solo fra le pendenze ma anche dell'ascissa senza una ragione speciale se non la superficialità
L'esercizio invece è carinissimo!

[axpgn]