Disporre i numeri da 1 a 30
Questo l'ho trovato difficile:
Premetto che non l'ho risolto personalmente, ma posseggo la soluzione.
Sia $N$ il numero di modi diversi in cui si possono inserire i numeri interi da 1 a 30 nella seguente tabella:
in modo che ogni casella contenga un numero diverso e che il numero contenuto in ciascuna casella sia maggiore sia di quello che gli sta immediatamente a sinistra sia di quello che gli sta sotto.
Dire quanto vale $N/{29*23*7}$
Premetto che non l'ho risolto personalmente, ma posseggo la soluzione.
Risposte
"FreddyKruger":
Umby,potresti specificare meglio il procedimento che usa il triangolo di catalan?
Molto simile a quello di Tartaglia, e può essere usato per diversi scopi.
Si genera sommando i valori della riga precedente, fino a raggiungere la colonna stessa.
Esempio: il valore 110 nella cella D9, è la sommatoria di A8:D8
La colonna M (in rosso) è quella che ci interessa al ns. quesito:
Il valore 208.012 è per il caso di 24 numeri (12 la prima riga, e 12 la seconda)
Il valore 742.900 è per il caso di 25 numeri (12 la prima riga, e 13 la seconda)
... e cosi' via.... fino ad arrivare al nostro caso, ovvero:
31.865.925 nel caso di 30 numeri (12 la prima riga, e 18 la seconda).
============================
E' facile pensare che la stessa tabella ci permette di risolvere tutti gli altri casi:
Ad esempio con 8 numeri (4 sulla prima riga e 4 sulla seconda). Prendero' il primo valore della colonna E (E5), quindi 14 casi. Oppure con 10 numeri (4 nella prima e 6 nella seconda) prendendo (E7) ovvero 90, e così via...
E' esattamente lo stesso procedimento che ho usato io 
,come diavolo avrò fatto a sbagliare e conti e a farmi venire un numero divisibile per 29,23 e 7 
Grazie mille comunque
,come diavolo avrò fatto a sbagliare e conti e a farmi venire un numero divisibile per 29,23 e 7 Grazie mille comunque
"FreddyKruger":
Grazie mille comunque
figurati...
tieni presente che per disegnare in excel il triangolo, mi son trovato delle formulette che potrebbero essere utili anche al calcolo in modo piu' veloce...
Anche a me risulta $6825$.
Ho usato openoffice, perché le formule sono veramente ostiche (almeno per me).
Ho ragionato così:
inserisco i numeri progressivamente da $1$ a $30$;
inseriti i primi $n-1$ numeri , il numero $n$ non puo` stare sopra e neppure a destra di una casa vuota.
Quindi posso procedere solo riempiendo da sinistra o dal basso.
L’ $1$ va necessariamente nella prima casa in basso a sinistra;
il $2$ può andare alla destra o sopra,
se va sopra, il $3$ è obbligatoriamente a destra dell’ $1$ e così via.
Il numero di case riempite nella riga in basso e di quella in alto determinano in modo univoco
le possibilità successive (ossia non importa come sono distribuiti i numeri).
Utilizzo invece che il numero di righe in basso e quelle in alto, il numero totale e la loro differenza:
avrò:
dopo aver inserito il numero $1$
$N=1$: $ 0, 1, 0, 0, 0, 0, ...$
dopo il numero $2$
$N=2$: $ 1, 0, 1, 0, 0, 0, ...$
Che si legge, nel caso $N=2$, : esiste $1$ percorso che mi porta a $delta=0$ tra le due righe
$0$ percorsi che mi portano a un $delta=1$ ($n=2$ e` pari!)
$1$ percorso che mi porta a $delta=2$
$0$ percorsi che danno un $delta=3,4,5,...$
($delta$ è la differenza citata sopra).
E così procedo a calcolare i percorsi
$N=3$ : $ 0, 2, 0, 1$
$N=4$ : $ 2, 0, 3, 0, 1$
......
Con i vincoli imposti dallla struttura per $N$ e $delta$.
Mi pare il calcolo replichi il triangolo di catalan (che non conoscevo) con i vincoli.
Ultima nota: la fattorizzazione di $N$ è particolare: $3*5*5*7*7*13*23*29$, non capisco se rispecchi qualche caratteristica del problema.
Ciao,
Andrea
Ho usato openoffice, perché le formule sono veramente ostiche (almeno per me).
Ho ragionato così:
inserisco i numeri progressivamente da $1$ a $30$;
inseriti i primi $n-1$ numeri , il numero $n$ non puo` stare sopra e neppure a destra di una casa vuota.
Quindi posso procedere solo riempiendo da sinistra o dal basso.
L’ $1$ va necessariamente nella prima casa in basso a sinistra;
il $2$ può andare alla destra o sopra,
se va sopra, il $3$ è obbligatoriamente a destra dell’ $1$ e così via.
Il numero di case riempite nella riga in basso e di quella in alto determinano in modo univoco
le possibilità successive (ossia non importa come sono distribuiti i numeri).
Utilizzo invece che il numero di righe in basso e quelle in alto, il numero totale e la loro differenza:
avrò:
dopo aver inserito il numero $1$
$N=1$: $ 0, 1, 0, 0, 0, 0, ...$
dopo il numero $2$
$N=2$: $ 1, 0, 1, 0, 0, 0, ...$
Che si legge, nel caso $N=2$, : esiste $1$ percorso che mi porta a $delta=0$ tra le due righe
$0$ percorsi che mi portano a un $delta=1$ ($n=2$ e` pari!)
$1$ percorso che mi porta a $delta=2$
$0$ percorsi che danno un $delta=3,4,5,...$
($delta$ è la differenza citata sopra).
E così procedo a calcolare i percorsi
$N=3$ : $ 0, 2, 0, 1$
$N=4$ : $ 2, 0, 3, 0, 1$
......
Con i vincoli imposti dallla struttura per $N$ e $delta$.
Mi pare il calcolo replichi il triangolo di catalan (che non conoscevo) con i vincoli.
Ultima nota: la fattorizzazione di $N$ è particolare: $3*5*5*7*7*13*23*29$, non capisco se rispecchi qualche caratteristica del problema.
Ciao,
Andrea
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