Dischi da disco

[axpgn]

Da un disco di compensato di $30$ centimetri di diametro vengono ritagliati due dischi di $10$ e $20$ centimetri di diametro.
Si vuole ricavare un terzo disco dalle rimanenze: quale sarà il massimo diametro di quest'ultimo disco?

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Circa 13?

[axpgn]

Direi proprio di no …

[Drazen77]

Con quel "circa 13" intendevo il raggio, il diametro credo sia "circa 26", ma non so calcolarlo...

[axpgn]

Peggio di prima …

Rifletti un attimo: se metti il tuo disco da $26$ accanto a quello da $20$ ottieni che il diametro del disco di partenza dovrebbe essere come minimo $46$ …

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Ho pensato di ricavare mezzo disco da una rimanenza e mezzo disco dall'altra rimanenza, poi li incolli e ottieni il disco dal diametro maggiore possibile dalle rimanenze...

[axpgn]

Lodevole iniziativa per ridurre gli scarti ma il testo richiede un disco non due "mezzi dischi incollati" ... converrai che non è la stessa cosa quantomeno per la solidità ... però potrebbe essere un'idea per una altro problema

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Così è circa 17.

[axpgn]

Questo disegno è corretto ma come potrà mai essere $17$

[Drazen77]

Ah ah ah... non circa 17, ma la metà: circa 8,5.

[axpgn]

Adesso si comincia a ragionare ... però io voglio il valore preciso e il ragionamento che porta ad esso

Cordialmente, Alex

[veciorik]

empiricamente:

$$60/7$$

[Drazen77]

Penso ci sia di mezzo il Teorema di Cartesio...

[axpgn]

@veciorik
OK ma che significa "empiricamente" ?

@Drazen77

Quello è il metodo probabilmente più ovvio (tant'è che io l'ho risolto così ) però ci sono soluzioni alternative
L'autore del problema l'ha risolto in maniera brillante usando un teorema che non c'entra con i cerchi

Cordialmente, Alex

[dan952]

La soluzione elegante ha a che fare con i triangoli?

[Drazen77]

È tutto il pomeriggio che disegno triangoli...

[veciorik]

Siano 1 2 3 $ \ x \ $ i raggi dei dischi.
Unisco i centri come nel disegno.
L'area del triangolo rosso è doppia del blu, come le basi.
Calcolo le aree con Erone e trovo $ \ x \ = \ 6/7$

[axpgn]

@veciorik, @dan95

Soluzione molto carina e semplice; utilizzando il teorema a cui accennavo (che riguarda i triangoli ) si fa ancor prima (a mio parere )
Io, peraltro, ho usato Apollonio o Cartesio o come si chiama …

Cordialmente, Alex

[dan952]

È probabilmente qualcosa con l'ortocentro

[axpgn]

No (per quel che ne so io … )

[narphys]

Non è elegantissima, ma funziona.
La soluzione è la circonferenza tangente internamente a alla circonferenza grande ed esternamente a quelle piccole.
Posti i centri sull'asse \(\displaystyle x_1=0, x_2=-10, x_3=20 \), il sistema dato dalle condizioni è il seguente:
$ { ( 900-60R+R^2 = x_c^2 +y_c^2),( 400+40R+R^2=x_c^2+ 20x_c+100 +y_c^2 ),( 100+20R+R^2=x_c^2-40x_c+400 +y_c^2 ):} $
Perciò: \(\displaystyle R=60/7, x_c=90/7, y_c=120/7\)