Dinner Party

[axpgn]

Joy ha invitato $17$ amici ad una cena a casa sua lo scorso venerdì.
Ella ha dato ad ogni ospite un cartoncino con scritto un numero da $2$ a $18$ riservando il numero $1$ per sé.
Quando tutti si sono seduti ai tavoli a coppie, Joy ha notato che la somma dei numeri di ogni coppia era un quadrato perfetto.

Che numero aveva il partner di Joy?



Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Se non sbaglio

15

edit:

Si. Chiamiamo le coppie in qualche ordine \((x_i,y_i)\) con \( 1 \leq i \leq 9 \), dove \(x_i+y_i \) è un quadrato e \( 1 \leq x_i < y_i \leq 18 \) per ogni \(1 \leq i \leq \), inoltre se \(i\neq j\) allora \( x_i \neq x_j \) , \(x_i \neq y_j \) e \(y_i \neq y_j \). Sia \( \mathcal{C} = \{ (x_i,y_i) : 1 \leq i \leq 9 \} \) l'insieme delle coppie. Siccome \(3=1+2 \leq x_i + y_i \leq 17+18=35 \) per ogni \(1 \leq i \leq 9 \) abbiamo che \( \{ x_i+y_i : (x_i,y_i) \in \mathcal{C} \} \subseteq \{ 4,9,16,25 \} \). Wlog diciamo che \(x_1=1\) dunque \( y_1 \in \{ 3,8,15 \} \).
Necessariamente abbiamo che \( (9,16), (8,17), (7,18) \in \mathcal{C} \). Dunque \(y_1 \in \{ 3,15 \}\). Se \( y_1=3 \) allora il \(10 \) dev'essere accoppiato necessariamente sia al \(15 \) che al \(6 \). Assurdo.
Dunque le coppie sono \( (1,15), (2,14),(3,13),(4,12),(5,11),(6,10),(7,18),(8,17),(9,16) \). E la/il partner di Joy ha il numero \(15\).

[axpgn]

Cordialmente, Alex