Dimostrare la seguente disuguaglianza
Salve a tutti, vi propongo una disuguagliaza da dimostrare
Siano $x, y, z\in RR^+$ tali che $x*y*z=1$ mostrare che
$(x^2 y+ y^2 z+ z^2 x)(x y^2+ y z^2+ z x^2)>= 9$
Ciao
Siano $x, y, z\in RR^+$ tali che $x*y*z=1$ mostrare che
$(x^2 y+ y^2 z+ z^2 x)(x y^2+ y z^2+ z x^2)>= 9$
Ciao
Risposte
Eseguendo la moltiplicazione si ottiene:
$x^3y^3+x^4yz+xy^4z+y^3z^3+xyz^4+x^3z^3+3x^2y^2z^2>=9$
Sfruttando l'uguaglianza $xyz=1$ essa diventa:
$x^3+y^3+z^3+x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3>=6$
Essendo $x^3y^3=1/z^3$ si ha:
$x^3+y^3+z^3+1/x^3+1/y^3+1/z^3>=6
Cioè:
$(1+x^6)/x^3+(1+y^6)/y^3+(1+z^6)/z^3>=6$
Che equivale a:
$(1+x^6-2x^3)/x^3+(1+y^6-2y^3)/y^3+(1+z^6-2z^3)/z^3>=0
Che diventa:
$(1-x^3)^2/x^3+(1-y^3)^2/y^3+(1-z^3)^2/z^3>=0$
Che è sempre verificata.
$x^3y^3+x^4yz+xy^4z+y^3z^3+xyz^4+x^3z^3+3x^2y^2z^2>=9$
Sfruttando l'uguaglianza $xyz=1$ essa diventa:
$x^3+y^3+z^3+x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3>=6$
Essendo $x^3y^3=1/z^3$ si ha:
$x^3+y^3+z^3+1/x^3+1/y^3+1/z^3>=6
Cioè:
$(1+x^6)/x^3+(1+y^6)/y^3+(1+z^6)/z^3>=6$
Che equivale a:
$(1+x^6-2x^3)/x^3+(1+y^6-2y^3)/y^3+(1+z^6-2z^3)/z^3>=0
Che diventa:
$(1-x^3)^2/x^3+(1-y^3)^2/y^3+(1-z^3)^2/z^3>=0$
Che è sempre verificata.
Perfetto!! La prima dimostrazione va a MaMo! Ottimo 
Altre soluzioni?
Altre soluzioni?
"Mathematico":
Siano $x, y, z\in RR^+$ tali che $x*y*z=1$ mostrare che
$(x^2 y+ y^2 z+ z^2 x)(x y^2+ y z^2+ z x^2)>= 9$
Metto una soluzione, così magari qualcun altro è invogliato a rispondere:
Per la disuguaglianza $AM-GM$ abbiamo che:
$(x^2 y+ y^2 z+ z^2 x)>=3(x^3y^3z^3)^(1/3) =3 xyz = 3$
Similmente:
$(x y^2+ y z^2+ z x^2)>=3( x^3y^3z^3)^(1/3)= 3xyz=3$
Dunque:
$(x^2 y+ y^2 z+ z^2 x)(x y^2+ y z^2+ z x^2)>= 3*3=9 $ QED
Ci sono altre dimostrazioni carine!
Considera l'uguaglianza $\xyz=1$ e considera il fatto che tutti e tre i fattori sono strettamente positivi!
Questa uguaglianza dice che:
$\x^2y=\frac{x}{z}$
$\y^2z=\frac{y}{x}$
$\z^2x=\frac{z}{y}$
notare che i seguenti sono gli inversi di quelli sopra
$\x^2z=\frac{x}{y}$
$\y^2x=\frac{y}{z}$
$\z^2y=\frac{z}{x}$
a questo punto sostituisci e ottieni:
$\(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z})>=9$
svolgi i conti e ottieni:
$\(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy})+(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2})+3>=9$
ponendo
$\a=\frac{x^2}{yz}$
$\b=\frac{y^2}{xz}$
$\c=\frac{z^2}{yz}$
si ottiene $\(a+b+c)+(a^-1+b^-1+c^-1)+3>=9$
Uso la disuguaglianza AM-GM: $\frac{a+b+c}{3}>=(abc)^(\frac{1}{3})=1$ (perchè svolgendo i conti $\abc=1$), allora
$\a+b+c>=3$ (per lo stesso identico motivo e con gli stessi passaggi si ottiene anche $\a^-1+b^-1+c^-1>=3$), allora
$\(a+b+c)+(a^-1+b^-1+c^-1)+3>=3+3+3=9$
Spero di non averla sparata grossa da qualche parte
!
Questa uguaglianza dice che:
$\x^2y=\frac{x}{z}$
$\y^2z=\frac{y}{x}$
$\z^2x=\frac{z}{y}$
notare che i seguenti sono gli inversi di quelli sopra
$\x^2z=\frac{x}{y}$
$\y^2x=\frac{y}{z}$
$\z^2y=\frac{z}{x}$
a questo punto sostituisci e ottieni:
$\(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z})>=9$
svolgi i conti e ottieni:
$\(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy})+(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2})+3>=9$
ponendo
$\a=\frac{x^2}{yz}$
$\b=\frac{y^2}{xz}$
$\c=\frac{z^2}{yz}$
si ottiene $\(a+b+c)+(a^-1+b^-1+c^-1)+3>=9$
Uso la disuguaglianza AM-GM: $\frac{a+b+c}{3}>=(abc)^(\frac{1}{3})=1$ (perchè svolgendo i conti $\abc=1$), allora
$\a+b+c>=3$ (per lo stesso identico motivo e con gli stessi passaggi si ottiene anche $\a^-1+b^-1+c^-1>=3$), allora
$\(a+b+c)+(a^-1+b^-1+c^-1)+3>=3+3+3=9$
Spero di non averla sparata grossa da qualche parte
!
I miei complimenti Isaac888! La tua soluzione è esatta oltre ad essere molto bella
Non ho capito cosa sia la disuguaglianza AM-GM.
Ecco la mia soluzione.
Partendo dalla:
$(a+b+c) + (a^-1+b^-1+c^-1) + 3 >=9$
$(a+a^-1) + (b+b^-1) +(c+c^-1) >=6$
la funzione $f(x)=(x+x^-1)$ in $R^+$
ha un minimo in $x=1$ dove vale $2$.
(si ottiene derivando $f(x)$:
$f^{\prime}(x)=(1-x^-2) , f^[''](x)=2*x^-3$ )
Ciao,
Andrea
Ecco la mia soluzione.
Partendo dalla:
$(a+b+c) + (a^-1+b^-1+c^-1) + 3 >=9$
$(a+a^-1) + (b+b^-1) +(c+c^-1) >=6$
la funzione $f(x)=(x+x^-1)$ in $R^+$
ha un minimo in $x=1$ dove vale $2$.
(si ottiene derivando $f(x)$:
$f^{\prime}(x)=(1-x^-2) , f^[''](x)=2*x^-3$ )
Ciao,
Andrea
Sì sì, va benissimo! Ottimo
la disuguaglianza AM-GM afferma che:
Presi $a_1, a_2, ..., a_n \in RR^+$ allora:
$(\sum_{k=1}^n a_k)/n >= \root (n)(\prod_{k=1}^n a_k)$
Si ha l'uguaglianza se e solo se $a_1=a_2=...= a_n$
In pratica la media aritmetica è maggiore o uguale della media geometrica
la disuguaglianza AM-GM afferma che:
Presi $a_1, a_2, ..., a_n \in RR^+$ allora:
$(\sum_{k=1}^n a_k)/n >= \root (n)(\prod_{k=1}^n a_k)$
Si ha l'uguaglianza se e solo se $a_1=a_2=...= a_n$
In pratica la media aritmetica è maggiore o uguale della media geometrica
"marmi":
Non ho capito cosa sia la disuguaglianza AM-GM.
Ecco la mia soluzione.
Partendo dalla:
$(a+b+c) + (a^-1+b^-1+c^-1) + 3 >=9$
$(a+a^-1) + (b+b^-1) +(c+c^-1) >=6$
la funzione $f(x)=(x+x^-1)$ in $R^+$
ha un minimo in $x=1$ dove vale $2$.
(si ottiene derivando $f(x)$:
$f^{\prime}(x)=(1-x^-2) , f^[''](x)=2*x^-3$ )
Ciao,
Andrea
Mah, mi lascia laquanto perplesso.
Parti da quella disugualianza, che non è quella iniziale, quindi la domanda è: perché?
Per avere il requisito di correttezza, dovresti spiegarci come passi da quella della traccia a quella li.
Mi pare che fino alla disuguaglianza riportata tutto fosse corretto.
Quindi direi che non c'è necessità di ripercorrere i passaggi.
Ciao,
Marmi
Quindi direi che non c'è necessità di ripercorrere i passaggi.
Ciao,
Marmi
Che fosse tutto corretto lo so, l'ho chiesto perché ad uno che non ha seguito la discussione e capita di iniziare a leggerla dal tuo post, la domanda che sorge spontanea è quello che ti ho fatto.
Saluti,
WiZ
Saluti,
WiZ
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo