Dimostrare che la frazione è intera
dovrei dimostrare che n(n^2+5)/3 è un numero intero.
Come si puo fare??
Sono riuscito solamente verificarlo per i numeri dispari ma non riesco ad individuare il cao generale....
Qualcuno di voi ha qualche idea??
Come si puo fare??
Sono riuscito solamente verificarlo per i numeri dispari ma non riesco ad individuare il cao generale....
Qualcuno di voi ha qualche idea??
Risposte
Basta che usi le congruenze modulo 3 e ragioni per casi, vedendo che la proposizione è vera in ogni caso: caso 1) n è divisibile per 3. caso 2) n dà resto 1 diviso per 3. caso 3) n dà resto 2 diviso per 3.
Per induzione:
Passo base:
$n=1$
$6/3=2$ ok
Si supponga vera $n(n^2+5)=3K$; $KinZZ$
Passo induttivo
$(n+1)[(n+1)^2+5]=(n+1)(n^2+2n+6)$ sviluppando i calcoli ottieni:
$(n^3+5n)+3n^2+3n+6=3K+3(n^2+n+2)$
Passo base:
$n=1$
$6/3=2$ ok
Si supponga vera $n(n^2+5)=3K$; $KinZZ$
Passo induttivo
$(n+1)[(n+1)^2+5]=(n+1)(n^2+2n+6)$ sviluppando i calcoli ottieni:
$(n^3+5n)+3n^2+3n+6=3K+3(n^2+n+2)$
per giuseppe87x
grazie per avermelo risolto credo di aver capito il procedimento ma non sono sicuro di cosa sia un passo induttivo..se ti capita di leggere questo messagio ed hai voglia potresti spiegarmelo in 2 righette...grazie
grazie per avermelo risolto credo di aver capito il procedimento ma non sono sicuro di cosa sia un passo induttivo..se ti capita di leggere questo messagio ed hai voglia potresti spiegarmelo in 2 righette...grazie
Se hai una certa proprietà $P(n)$ e dalla validità di $P(n)$ è possibile risalire alla validità di $P(n+1)$ allora tale proprietà è valida per tutti i numeri naturali.
Per maggiori info cerca su google "principio di induzione"
Per maggiori info cerca su google "principio di induzione"
"giuseppe87x":
Se hai una certa proprietà $P(n)$ e dalla validità di $P(n)$ è possibile risalire alla validità di $P(n+1)$ allora tale proprietà è valida per tutti i numeri naturali.
Per maggiori info cerca su google "principio di induzione"
Sarebbe meglio specificare, se la proprietà è vera per 0 e in generale se è vera per $m$ lo è anche per $m+1$ alllora è vera per tutti i numeri.
Un classico esempio è
$0 in NN$ vero
se $n in NN$ allora $n+1 in NN$ vero
da cui segue che tutti i numeri interi positivi appartengono a $NN$.
PS il mio è un tono scherzoso, prima che saltino fuori chissa quali polemiche...
Ottimi interventi 
A me è venuta in mente questa piccola
variante, basata su una nota proprietà:
presi tre numeri interi consecutivi, uno
di essi è senz'altro divisibile per 3.
[Della cosa ci si convince immediatamente
pensando che fra due successivi multipli
di 3 esistono solo due interi non divisibili
per 3:
... 3h, 3h+1, 3h+2, 3(h+1) ...]
Ciò vuol dire che il prodotto di tali numeri
interi, che possiamo scrivere così:
(n-1)·n·(n+1)=n³-n ,
è sempre un multiplo di 3.
Ora, supponendo che n³+5n sia un
multiplo di 3, anche n³+5n-(n³-n) deve
esserlo, e infatti: n³+5n-n³+n = 6n.
Un'ovvia estensione (particolare):
tutti i numeri interi del tipo n³+(3k-1)·n
sono multipli di 3.
A me è venuta in mente questa piccola
variante, basata su una nota proprietà:
presi tre numeri interi consecutivi, uno
di essi è senz'altro divisibile per 3.
[Della cosa ci si convince immediatamente
pensando che fra due successivi multipli
di 3 esistono solo due interi non divisibili
per 3:
... 3h, 3h+1, 3h+2, 3(h+1) ...]
Ciò vuol dire che il prodotto di tali numeri
interi, che possiamo scrivere così:
(n-1)·n·(n+1)=n³-n ,
è sempre un multiplo di 3.
Ora, supponendo che n³+5n sia un
multiplo di 3, anche n³+5n-(n³-n) deve
esserlo, e infatti: n³+5n-n³+n = 6n.
Un'ovvia estensione (particolare):
tutti i numeri interi del tipo n³+(3k-1)·n
sono multipli di 3.
Osservazione carina, Bruno.
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