Dimostrare che a,b,c è euguale a zero
Siano 'a' 'b' 'c' numeri razionali tali che
a^3+2b^3+4c^3=8abc
si mostri che a=b=c=0
a^3+2b^3+4c^3=8abc
si mostri che a=b=c=0
Risposte
Sei sicuro che sono razionali e non interi?
putroppo si sono prorpio razionali
Il procedimento è un pò lungo e non lo scrivo qui.
Lo sintetizzo in poche parole.
La dimostrazione è per assurdo.
Esprimi $a, b, c$ come rapporto di due interi coprimi tra loro.
Poi puoi osservare che i numeratori (che sono numeri interi) dei tre rapporti sono pari e possono essere espressi nella forma $2p, 2q, 2s$; sostituendo questi valori torni di nuovo all'uguaglianza di partenza e puoi rifare nuovamente lo stesso procedimento. Ma questo è assurdo per il principio della discesa infinita di Fermat (un numero intero non può essere diviso per due all'infinito).
Per cui dobbiamo concludere che l'unica soluzione è quella banale $a=b=c=0$
Lo sintetizzo in poche parole.
La dimostrazione è per assurdo.
Esprimi $a, b, c$ come rapporto di due interi coprimi tra loro.
Poi puoi osservare che i numeratori (che sono numeri interi) dei tre rapporti sono pari e possono essere espressi nella forma $2p, 2q, 2s$; sostituendo questi valori torni di nuovo all'uguaglianza di partenza e puoi rifare nuovamente lo stesso procedimento. Ma questo è assurdo per il principio della discesa infinita di Fermat (un numero intero non può essere diviso per due all'infinito).
Per cui dobbiamo concludere che l'unica soluzione è quella banale $a=b=c=0$
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