Dimostazione formula della somma dei primi numeri quadrati
Buon giorno a tutti, ho trovato questa formuletta:
$S_q = (n / 2)(1 + n ^ 2) - \lfloor((n!) / (3!(n - 3)!))\rfloor$
per il calcolo della somma dei primi numeri quadrati. (si noti che dopo il meno va presa la parte intera)
Tuttavia è già nota questa, più semplice:
$S_q = ((n/6)(n + 1)(2n + 1))$
Come dimostro che la prima è equivalente(ammesso che lo sia) per ogni n, alla seconda?
In realtà la prima formula sembra essere equivalente alla seconda se $n>=3$, e se per $n<3$ si definisce il fattoriale $(-|n|)! = 1$
$S_q = (n / 2)(1 + n ^ 2) - \lfloor((n!) / (3!(n - 3)!))\rfloor$
per il calcolo della somma dei primi numeri quadrati. (si noti che dopo il meno va presa la parte intera)
Tuttavia è già nota questa, più semplice:
$S_q = ((n/6)(n + 1)(2n + 1))$
Come dimostro che la prima è equivalente(ammesso che lo sia) per ogni n, alla seconda?
In realtà la prima formula sembra essere equivalente alla seconda se $n>=3$, e se per $n<3$ si definisce il fattoriale $(-|n|)! = 1$
Risposte
Dato che \( \displaystyle \frac{n!}{(n-3)! 3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \binom{n}{3}\),
la parte intera si può togliere.
$n/2 *(1+n^2) - (n(n-1)(n-2))/6 = (3n(1+n^2) -(n^2-n)(n-2))/6 = (3n+3n^3-(n^3-2n^2-n^2+2n))/6= (2n^3+3n^2+n)/6$
$(n (n+1)(2n+1))/6 = (n(2n^2+n+2n+1) )/6 = (2n^2+3n^2+n)/6$
Quindi sono uguali.
Ma dove hai trovato la formuletta?
edit (10 aprile): questo ragionamento funziona solo se $n>=3$. Mancano i casi $n=1$ e $n=2$. vedi sotto.
la parte intera si può togliere.
$n/2 *(1+n^2) - (n(n-1)(n-2))/6 = (3n(1+n^2) -(n^2-n)(n-2))/6 = (3n+3n^3-(n^3-2n^2-n^2+2n))/6= (2n^3+3n^2+n)/6$
$(n (n+1)(2n+1))/6 = (n(2n^2+n+2n+1) )/6 = (2n^2+3n^2+n)/6$
Quindi sono uguali.
Ma dove hai trovato la formuletta?
edit (10 aprile): questo ragionamento funziona solo se $n>=3$. Mancano i casi $n=1$ e $n=2$. vedi sotto.
Grazie per la risposta Gi8,
L' ho ricavata un po' per induzione e un po' per intuizione.
Ho abbastanza chiara la tua dimostrazione, tuttavia mi sfugge il perché non sorgono problemi nel considerare $(-|n|)! = 1$.
Poi...perché la "parte intera" viene trattata come un numero qualsiasi?
Nella mia formuletta se inserisco un $n<3$, ad es. $n=2$, ottengo:
$(2/2)(1+2^2) - ((2!)/(3!(2-3)!)) = 5 - [1/3]$....quindi perché si può togliere la parte intera $[1/3]$, che equivale a zero?
Quindi l' unico metodo è considerare il fattoriale di un numero negativo uguale ad infinito?
L' ho ricavata un po' per induzione e un po' per intuizione.
Ho abbastanza chiara la tua dimostrazione, tuttavia mi sfugge il perché non sorgono problemi nel considerare $(-|n|)! = 1$.
Poi...perché la "parte intera" viene trattata come un numero qualsiasi?
Nella mia formuletta se inserisco un $n<3$, ad es. $n=2$, ottengo:
$(2/2)(1+2^2) - ((2!)/(3!(2-3)!)) = 5 - [1/3]$....quindi perché si può togliere la parte intera $[1/3]$, che equivale a zero?
Quindi l' unico metodo è considerare il fattoriale di un numero negativo uguale ad infinito?
Hai ragione. Il mio ragionamento vale per $n>=3$.
Per completare la dimostrazione, basta vedere cosa succede nei casi $n=1$ e $n=2$.
(premessa: il fattoriale di un numero intero negativo è $1$)
Se $n=1$ si ha $ n / 2 * (1 + n ^ 2) - \lfloor (n!) / (3!(n - 3)!)\rfloor = 1/2 *2 - \lfloor 1/(6*1) \rfloor = 1-0 =1$, corretto.
Se $n=2$ si ha $ n / 2 * (1 + n ^ 2) - \lfloor (n!) / (3!(n - 3)!)\rfloor = 2/2 *5 - \lfloor 2/(6*1) \rfloor = 5-0 =5$, corretto.
Per completare la dimostrazione, basta vedere cosa succede nei casi $n=1$ e $n=2$.
(premessa: il fattoriale di un numero intero negativo è $1$)
Se $n=1$ si ha $ n / 2 * (1 + n ^ 2) - \lfloor (n!) / (3!(n - 3)!)\rfloor = 1/2 *2 - \lfloor 1/(6*1) \rfloor = 1-0 =1$, corretto.
Se $n=2$ si ha $ n / 2 * (1 + n ^ 2) - \lfloor (n!) / (3!(n - 3)!)\rfloor = 2/2 *5 - \lfloor 2/(6*1) \rfloor = 5-0 =5$, corretto.
Ciao Gi8
Sicuro che sia $1$ il fattoriale di un numero negativo? Wolfram alpha definisce la quantità $(-|2|)! = \infty$, in pieno accordo col fatto che un infinito a denominatore azzera il risultato, tuttavia se inserisco $(-|x|)!$ in wa, non restituisce banalmente infinito...ma la funzione gamma...che non ho ancora approfondito...qualche chiarimento?
Sicuro che sia $1$ il fattoriale di un numero negativo? Wolfram alpha definisce la quantità $(-|2|)! = \infty$, in pieno accordo col fatto che un infinito a denominatore azzera il risultato, tuttavia se inserisco $(-|x|)!$ in wa, non restituisce banalmente infinito...ma la funzione gamma...che non ho ancora approfondito...qualche chiarimento?
"curie88":Il fattoriale di un numero negativo non è definito, in generale
Ciao Gi8
Sicuro che sia $1$ il fattoriale di un numero negativo?
(quindi la tua formuletta ha senso solo per $n>=3$). L'ho definito io uguale a $1$, per "aggiustare" la situazione.
Grazie Gi8, si in effetti non è definito, mi sono informato sul web, o meglio ho letto che si potrebbe definire per numeri dispari negativi, tuttavia non ho ancora chiarito il perchè...
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