Digit $1$ e $2$ e Divisibilità per $2^n$
Un problema per intenditori!
Provare che per ogni intero $n$ esiste un numero divisibile per $2^n$, la cui rappresentazione decimale contiene $n$ digit ciascuno dei quali è $1$ o $2$,
Posto la soluzione su richiesta condivisa.
Saluti
Mistral
Provare che per ogni intero $n$ esiste un numero divisibile per $2^n$, la cui rappresentazione decimale contiene $n$ digit ciascuno dei quali è $1$ o $2$,
Posto la soluzione su richiesta condivisa.
Saluti
Mistral
Risposte
"Mistral":
Un problema per intenditori!
Provare che per ogni intero $n$ esiste un numero divisibile per $2^n$, la cui rappresentazione decimale contiene $n$ digit ciascuno dei quali è $1$ o $2$,
Posto la soluzione su richiesta condivisa.
Saluti
Mistral
Scusa, digit significa cifre giusto?
Scusa, digit significa cifre giusto?
Si
Si
Il problema non è chiaro...
Io l'ho capito così: per ogni n esiste un multiplo di 2^n (arbitrariamente grande!!! senza limiti) che contiene almeno n cifre appartenenti all'insieme (1,2)... ma delle altre cifre ci disinteressiamo
Ma così pare piuttosto facile, si potrebbe anche restringere l'insieme a (2)...
Io l'ho capito così: per ogni n esiste un multiplo di 2^n (arbitrariamente grande!!! senza limiti) che contiene almeno n cifre appartenenti all'insieme (1,2)... ma delle altre cifre ci disinteressiamo
Ma così pare piuttosto facile, si potrebbe anche restringere l'insieme a (2)...
"Thomas":
Il problema non è chiaro...
Io l'ho capito così: per ogni n esiste un multiplo di 2^n (arbitrariamente grande!!! senza limiti) che contiene almeno n cifre appartenenti all'insieme (1,2)... ma delle altre cifre ci disinteressiamo
Ma così pare piuttosto facile, si potrebbe anche restringere l'insieme a (2)...
Prova a costruire per ogni $n$ un numero che è divisibile per $2^n$ e contiene n cifre che sono $1$ o $2$, così vediamo se è facile. Comunque la soluzione che ho pensato ha esattamente $n$ cifre e sono tutte $1$ o $2$. Ora che vi ho scritto questo vi ho già dato un grosso suggerimento alla soluzione. Poi un problema può avere più soluzione alcune sono "smart" altre sono "butcher like".
Saluti
Mistral
uff... guarda che c'è chi si impegna anche per le "butcher's like" 
.... Cmq se non sono apprezzate eviterò di postarle...
E poi il tuo testo non si capiva... se non imponi limitazioni basta che moltiplichi per 10^n con n abb grande e poi sommi un opprtuno multiplo per ottenere 2 a piacere...
.... Cmq se non sono apprezzate eviterò di postarle... E poi il tuo testo non si capiva... se non imponi limitazioni basta che moltiplichi per 10^n con n abb grande e poi sommi un opprtuno multiplo per ottenere 2 a piacere...
"Thomas":
uff... guarda che c'è chi si impegna anche per le "butcher's like"
E poi il tuo testo non si capiva... se non imponi limitazioni basta che moltiplichi per 10^n con n abb grande e poi sommi un opprtuno multiplo per ottenere 2 a piacere...
Il problema e che se dici nel testo esattemente $n$ cifre dai un aiuto, comunque ammetto che il problema potrebbe contenere soluzioni del tipo $n$ digit $1$ e $2$ + digit di $10^n$ con $n$ abbastanza grande
, suggerisco di costuirne una ad esempio quella per $n=10$. Pero mi focalizzerei su quelle con di $n$ cifre.Comunque il "butcher like" non era per essere offensivo con nessuno
.Aggiungo il testo in inglese magari ne ho fatto una traduzione "butcher like" :
Show that for any positive integer $n$, there is a number whose decimal representation contains $n$ digits, each of is $1$ or $2$, and which is divisible by $2^n$.
Saluti
Mistral
Va bè... cmq la sol più naturale mi pare quella sopra... capisco che "dai un seuggerimento" ma i problemi sono diversi!
Per induzione, supponiamo che esista per n e anzi che esista con un certo numero di cifre.
a=k*2^n ip.ind.
claim: uno tra 1a e 2a andrà bene. (chiamo il numero nuovo t)
se k pari, k=2z:
t = 2*10^n+k*2^n
t= 2^(n+1)*5^n+z*2^(n+1)=2^(n+1)(5^n+z)
se k dispari, k = 2z+1
t = 10^n+(2z+1)*2^n
t = 5^n*2^n+2^n+2^(n+1)*z
t= 2^n*(5^n+1)+2^(n+1)*z
la tesi segue perchè 5^n+1 è pari...
byez
Per induzione, supponiamo che esista per n e anzi che esista con un certo numero di cifre.
a=k*2^n ip.ind.
claim: uno tra 1a e 2a andrà bene. (chiamo il numero nuovo t)
se k pari, k=2z:
t = 2*10^n+k*2^n
t= 2^(n+1)*5^n+z*2^(n+1)=2^(n+1)(5^n+z)
se k dispari, k = 2z+1
t = 10^n+(2z+1)*2^n
t = 5^n*2^n+2^n+2^(n+1)*z
t= 2^n*(5^n+1)+2^(n+1)*z
la tesi segue perchè 5^n+1 è pari...
byez
per divertimento
n=10
12032323219251251251281928192
con esattamente 10 2...
n=10
12032323219251251251281928192
con esattamente 10 2...
"Thomas":
Va bè... cmq la sol più naturale mi pare quella sopra... capisco che "dai un seuggerimento" ma i problemi sono diversi!
Per induzione, supponiamo che esista per n e anzi che esista con un certo numero di cifre.
a=k*2^n ip.ind.
claim: uno tra 1a e 2a andrà bene. (chiamo il numero nuovo t)
se k pari, k=2z:
t = 2*10^n+k*2^n
t= 2^(n+1)*5^n+z*2^(n+1)=2^(n+1)(5^n+z)
se k dispari, k = 2z+1
t = 10^n+(2z+1)*2^n
t = 5^n*2^n+2^n+2^(n+1)*z
t= 2^n*(5^n+1)+2^(n+1)*z
la tesi segue perchè 5^n+1 è pari...
byez
Mi sfugge come dimostri nel passo di induzione $n->n+1$ che il nuovo numero ha nelle sua rappresentazione decimale almeno $n+1$ cifre che sono $1$ o $2$.
Saluti
Mistral
mmm... hai trovato qualche errore per caso???
L'idea è: tengo tutti le cifre vecchie e ne aggiungo una a sinistra che sia 1 o 2... di modo che avrò n+1 cifre e tutte apparterranno all'insieme (1,2)... per induzione il numero "vecchio" a ha n cifre, quindi aggiungendo una cifra a sinistra, si hanno a seconda dei casi o:
10^n + a
o
2*10^n + a
poi la dimostrazione consiste nel far vedere che almeno uno di questi due numeri è divisibile per 2^(n+1)
Cmq la nuova dimo è per il nuovo problema...
L'idea è: tengo tutti le cifre vecchie e ne aggiungo una a sinistra che sia 1 o 2... di modo che avrò n+1 cifre e tutte apparterranno all'insieme (1,2)... per induzione il numero "vecchio" a ha n cifre, quindi aggiungendo una cifra a sinistra, si hanno a seconda dei casi o:
10^n + a
o
2*10^n + a
poi la dimostrazione consiste nel far vedere che almeno uno di questi due numeri è divisibile per 2^(n+1)
Cmq la nuova dimo è per il nuovo problema...
"Thomas":
mmm... hai trovato qualche errore per caso???
L'idea è: tengo tutti le cifre vecchie e ne aggiungo una a sinistra che sia 1 o 2... di modo che avrò n+1 cifre e tutte apparterranno all'insieme (1,2)... per induzione il numero "vecchio" a ha n cifre, quindi aggiungendo una cifra a sinistra, si hanno a seconda dei casi o:
10^n + a
o
2*10^n + a
poi la dimostrazione consiste nel far vedere che almeno uno di questi due numeri è divisibile per 2^(n+1)
Cmq la nuova dimo è per il nuovo problema...
Ok funziona forse ci vuole un $n-1$ come potenza del $10$. Tra l'altro è costruttiva:
$n=1$, $s_{1}= 2$
$n=2$, $s_{2}= 12$
$n=3$, $s_{3}= 112$
$n=4$, $s_{4}= 2112$
$n=5$, $s_{5}= 22112$
etc..
ad es $s_{15}=211111212122112$.
La mia pur usando l'induzione nella versione che avevo scritto prima di leggere la tua non era costruttiva. Mi basavo sul fatto che esistono $2^n$ numeri distinti con $n$ cifre che sono $1$ o $2$ e sono tutti non congruenti (in questo passo usavo l'induzione) tra loro modulo $2^n$ quindi uno ed uno solo di loro cade nella classe di resto $0$ $mod 2^n$
Comunque anche nella tua dimostrazione per induzione salta fuori che la soluzione è unica.
Ok risolto, complimenti.
Saluti
Mistral
L'ho appena risolto anch'io. Peccato non esserci arrivato in tempo.
Anche la mia dimostrazione partiva dal fatto che $2^2|12$ e continuava con
$a*10^2+12=2^2(a*5^2+3)$. In questo caso basta scegliere a=1 ed il nuovo numero sarà divisibile per 2^3.
Quindi $a*10^3+112=2^3(a*5^3+14)$. Ed in questo caso basta porre a=2 ed il nuovo numero sarà divisibile per 2^4. Cioè basta porre a=1 o a=2 se rispettivamente $s_(n-1)/(2^(n-1))$ è dispari o pari.
Anche la mia dimostrazione partiva dal fatto che $2^2|12$ e continuava con
$a*10^2+12=2^2(a*5^2+3)$. In questo caso basta scegliere a=1 ed il nuovo numero sarà divisibile per 2^3.
Quindi $a*10^3+112=2^3(a*5^3+14)$. Ed in questo caso basta porre a=2 ed il nuovo numero sarà divisibile per 2^4. Cioè basta porre a=1 o a=2 se rispettivamente $s_(n-1)/(2^(n-1))$ è dispari o pari.
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